Atps De Calculo II

Etapa 1

Passo 1

Seja S(t) a posição no instante t, então a velocidade instantânea em t=a é definida como

Velocidade instantânea = limh->0

Em palavras, a velocidade instantânea de um objeto em um instante t=a é dada pelo limite da velocidade média em um intervalo quando esse intervalo diminui em torno de a. O núcleo da ideia é o fato de que, em uma escala muito pequena, a maior parte das funções parece com linhas retas. Imagine o gráfico de uma função perto de um ponto e imagine aproximando-se do ponto para obter uma visão mais de perto, Quanto mais nos aproximamos, mais a curva se parece com uma reta. Chamamos o coeficiente angular dessa reta a inclinação da curva nesse ponto. Logo, ao coeficiente angular da reta aumentada é a velocidade instantânea. Podemos, então, dizer: A velocidade instantânea é a inclinação da curva no ponto.

Existem maneiras de descrever o quão rapidamente algo se move, a expressão ‘’quão rapidamente” mais comumente se refere a quão rapidamente uma partícula está se movendo em um dado instante- sua velocidade instantânea (ou simplesmente velocidade) v. A velocidade em qualquer instante de tempo é obtida a partir da velocidade média reduzindo-se o intervalo de tempo Δt, fazendo-o tender a zero. À medida que Δt é reduzido, a velocidade média se aproxima de um valor limite, que é a velocidade naquele instante:

V = limΔt -> 0 =

Esta equação mostra duas características da velocidade instantânea v. Primeiro, v é a taxa na qual a posição da partícula x está variando com o tempo num dado instante; ou seja, v é a derivada de x em relação a t. Segundo, v em qualquer instante é a inclinação da curva (ou coeficiente angular da reta tangente à curva) posição-tempo da partícula no ponto representando esse instante. A velocidade é outra grandeza vetorial, e assim possui direção e sentido associados.

Exemplo

Posição x = a.tn Onde ‘a’ é uma constante qualquer

Derivando

V = = a.n.tn-1

Então, dado a posição X = 8t3 - t3 + 2t2 – 5t + 4,

Temos como velocidade V = 22t2 + 4t - 5

Passo 2

S(m) x T(s)

X = 8t3 - t3 + 2t2 – 5t + 4 Função de 3º grau

x t

4 0

8,33 1

60,67 2

205 3

485,33 4

945,67 5

Variação do espaço percorrido

ΔS = 945,67 – 4 = 941,67s

V(m/s) x T(s)

V = 22t2 + 4t – 5 Função de 2º grau

v t

-5 0

21 1

91 2

205 3

363 4

565 5

Variação de velocidade

ΔV = 565 – (-5) = 570m/s

Passo 3

A aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo:

a =

Em palavras, a aceleração de uma partícula em qualquer instante é a taxa na qual sua velocidade está mudando naquele instante. Graficamente, a aceleração em qualquer ponto é a inclinação da curva de v(t) naquele ponto. A partícula em qualquer instante é dada pela derivada segunda de sua posição x(t) em relação ao tempo.

Aceleração instantânea = v’(t) = lim h->0

Como a velocidade é a derivada da posição, a aceleração é a derivada segunda da posição:

Velocidade: v(t) = = s’(t)

Aceleração: a(t) = = s’’(t) = v’(t).

A partir do exemplo dado no passo 1 , temos:

a = 44t + 4

Somatória dos últimos algarismos dos RAs = (0+7+9+7+0) = 23

23 = 44t + 4

T = 0,43s

Passo 4

a = 44t + 4 Função de 1º grau

t a

0 4

1 48

2 92

3 136

4 180

5 224

O gráfico formado pela função velocidade, uma função de 2º grau, foi uma parábola com concavidade para cima, enquanto o gráfico da aceleração, função de 1º grau, foi uma reta crescente.

Etapa 2

Passo 1

Constante de Euler

O número de Euler é uma constante matemática que engloba cálculos de nível superior, empregado, a título de exemplo, em Cálculo de diferenciais e integradas. O número de Euler é assim chamado em homenagem ao matemático Suiço Leonhard Euler, é à base dos logaritmos naturais.

As variantes do nome do número incluem: número de Napier, constante de Néper, número neperiano, constante matemática e número exponencial, etc. A primeira referência à constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. No entanto, este não contém a constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação da constante foi descoberta por