CONSTRUÇÕES GEOMETRICAS

CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS E DEMONSTRAÇÕES

nível 2

Prof. Élio Mega

A partir do século V aC, os matemáticos gregos desenvolveram uma parte da Matemática, intima-mente ligada à Geometria, conhecida como Construções Geométricas com Régua e Compasso. Os problemas de construções geométricas são muito interessantes e alguns deles devem ser enfrentados por quem está interessado em Geometria. É bom saber que os gregos antigos propuseram e resolveram muitos problemas de construção difíceis, mas não conseguiram resolver, ou melhor, não conseguiram provar que não tinham solução os três problemas conhecidos, respectivamente, como

(1) a trisecção de um ângulo

(2) a duplicação de um cubo

(3) a quadratura de um círculo

consistindo em, usando apenas régua e compasso,

(1) dividir um ângulo dado qualquer em três partes iguais (ou seja, em três ângulos congruentes cuja soma é o ângulo dado)

(2) construir o lado de um cubo, cujo volume é o dobro do volume de um cubo cujo lado é dado

(3) construir um quadrado cuja área é a mesma de um círculo dado

Esses problemas foram enfrentados com sucesso apenas no século XIX, com a ajuda da Álgebra. Mas isto já é outra história. Com certeza você ainda irá ouvir bastante sobre esse assunto, em outras oportu-nidades.

Para resolver problemas de construções geométricas, além de lápis e papel, utilizam-se dois instrumentos para desenhar figuras: um compasso e uma régua (sem escala). O compasso será utilizado para desenhar circunferências e a régua, para traçar retas. Serão utilizadas apenas as seguintes operações (que se justificam pelos axiomas da Geometria Euclidiana):

O1. Traçar uma reta por dois pontos conhecidos.

O2. Desenhar uma circunferência, dados o seu centro e o seu raio.

O3. Marcar os pontos, quando houver, de intersecção de duas linhas (duas retas, duas circunfe-rências ou uma reta e uma circunferência).

Para simplificar as construções, é comum desenharmos arcos de circunferência em vez de circunfe-rências, além de segmentos de retas e semi-retas em vez de retas. Entretanto, há situações em que essa prática pode ocultar soluções válidas de um problema, sendo necessária a devida atenção para evitar isso.

Uma construção geométrica consiste numa seqüência finita de pelo menos uma dessas opera-ções. Iremos desenvolver um procedimento adequado para descrever os passos de uma construção (como um programa de computação). Mas o mais importante são os conceitos, idéias e teoremas geo-métricos envolvidos na resolução dos problemas. Por isso, iremos exercitar a atividade fundamental característica da Matemática: a demonstração. O fato de exibirmos uma figura desenhada não basta para afirmar que um problema foi resolvido: é preciso provar, com bases nas leis da lógica e nos fatos já conhecidos (definições, axiomas ou teoremas), que tudo o que foi feito é válido. Por isso, cada passo da construção deve ser justificado (isto é, demonstrado). Vamos ver um exemplo.

Construir um triângulo, dados dois de seus lados e o ângulo formado por eles.

Nesta primeira descrição da construção, iremos explicar detalhes que serão omitidos nas próximas.

Procedimento:

1) Transporte o segmento maior para um lugar conveniente:

 marque um ponto num lugar conveniente da página (ponto A)

 coloque a ponta seca do compasso numa extremidade do segmento dado maior e a ponta com grafite na outra extremidade do mesmo

 sem mexer na abertura do compasso, coloque a ponta seca no ponto A e trace um pequeno arco (para a direita, por exemplo)

 marque um ponto desse arco (ponto B)

 com a régua, desenhe o segmento AB

2) Transporte o ângulo dado, de forma que seu vértice coincida com A e um de seus lados com o seg-mento AB.

 com ponta seca no vértice do ângulo dado, trace uma circunferência (arco) de raio menor do que AB; esta encontra os lados do ângulo em M e N.

 com mesmo raio, trace a circunferência (arco) com centro em A, encontrando o segmento AB em M’.

 com centro em M’, trace a circunferência (arco) de raio MN; ela encontra a circunferência (arco) de centro A em N’.

 trace a reta (semi-reta de origem A), passando por N’.

3) Com centro em A, trace a circunferência (arco) de raio igual ao outro lado dado; esta circunferência (arco) encontra a semi-reta AN’ em C.

4) Trace o segmento AC.

5) Trace o segmento BC.

A construção obtida é

Podemos justificar as construções acima, de forma abreviada. Além dos axiomas da Geometria Eucli-diana que fundamentam as operações O1, O2 e O3, foi utilizado o caso LLL de congruência de triân-gulos no passo 2 (transporte de ângulo).

Se desenharmos retas e circunferências completas nas operações de transporte, as construções ficarão mais complexas e provavelmente surgirão soluções redundantes, isto é, congruentes. No caso acima, nessas condições, a construção final ficaria assim:

Os triângulos ABC’, AB’C’’ e AB’C’’’ são congruentes ao triângulo ABC. Esta construção ilustra o fato de que a correspondência LAL entre triângulos é uma congruência.

Porém, nem sempre as soluções são congruentes. Considere o problema a seguir.

Construir um triângulo, dados dois de seus lados e o ângulo oposto ao ângulo formado por eles.

O desenho a seguir mostra uma construção