PG - Progressão Geométrica

1. Um atleta percorre 1.000 metros, depois retorna e corre mais 500 metros, depois retorna e corre mais 250 metros, e assim vai indefinidamente. Pergunta-se:

a) Quanto terá percorrido aproximadamente esse atleta, desde o início, quando completar o percurso da oitava meia volta?

A PG está assim configurada:

[(1.000); (-500); (250); (-125); (62,50); (-31,25); (15,625); (-7,8125); (3,90625); (-1,953125.........].

É uma PG, cujo primeiro termo é 1.000 e cuja razão é -1/2.

Como está sendo pedida a soma quando o atleta completar o percurso da oitava meia volta, então utilizei a fórmula da soma de uma PG, que é dada por:

Sn = a1.[q^(n) - 1] / (q-1) ------fazendo as devidas substituições, temos:

S8 = 1.000*[(1/2)^(8) - 1] / (1/2 - 1)

S8 = 1.000*[(1/256) - 1] / (-1/2)

S8 = 1.000*[-255/256) / (-1/2)

S8 = (-255.000/256)/(-1/2)

S8 = (-255.000/256)*(-2/1) = (-255.000*(-2)/1*256 = 510.000/256 = 1.992,1875 <-----

Essa é a resposta: 1.992,1875 metros.

b) Se o atleta continuar a correr indefinidamente dessa mesma forma, a que distância do ponto de partida inicial o atleta chegará?

a1 = 1000

q = (-1/2)

Sn = a1.(q^n - 1)/(q - 1)

Indefinidamente significa n → ∞. Uma vez que a razão é menor do que 1, quando n tender para infinito q^n tenderá para zero:

n → ∞ ⇒ q^n → 0

Portanto, a fórmula ficaria assim:

S∞ = a1.(q^∞ - 1)/(q - 1) = a1/(1 - q)

S∞ = a1/(1 - q)

Essa Fórmula é usada para cálculo da soma de um número infinito de termos de uma PG de razão menor do que 1. É essa fórmula que, aplicada à seqüência: 1000, - 500, 250, - 125,... , fornecerá a posição do atleta em relação ao marco zero após passar a vida inteira correndo:

S∞ = 1000/[1 - (-1/2)]

S∞ = 1000/[1 + 1/2]

S∞ = 666,666...

Esse número é a distância em metros que o atleta estará do marco zero após passar a vida inteira correndo.

2. Considere S = (x - 1)² + [(x - 1)²/2] + [(x - 1)²/4] + [(x - 1)²/8] +...

Determine o(s) valor(es) de x que torna(m) S = 2.

Resposta: X= 2 ou X=0

?????

3. Considere a seguinte soma infinita: (1/2) + (2/4) + (3/8) + (4/16) + ...

No gráfico I, abaixo, cada parcela desta