Calculo 3 incorporado. Integral Indefinido

ETAPA 01

Aula-tema: Integral Definida. Integral Indefinida.

Esta etapa é importante para você fixe, de forma prática, a teoria de integrais indefinidas e definidas, desenvolvida previamente em sala de aula pelo professor da disciplina. Você também irá aprender o conceito de integral como função inversa da derivada.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos

Passo 01

Façam as atividades apresentadas a seguir.

Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas. Pesquisem também em: livros didáticos, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização da teoria de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas.

Hoje em dia o calculo de área e integrais são utilizadas várias áreas do conhecimento humano e aplicado para a solução de problemas não só de matemática, mais de física, astronomia, economia, engenharia, medicina, química, hoje pode se dizer que são fundamentais para essas áreas ajudam a resolver o estudo de áreas sob curvas que são importantes para que sejam evitados erros durante o processo de análise dos valores, já os seus estudos podem se dizer que: A integral indefinida também pode ser chamada de antiderivada, uma vez que é um processo que inverte a derivada de funções. Já a integral definida, inicialmente definida como soma de riemann estabelece limites de integração, ou seja, é um processo estabelecido entre dois intervalos bem definidos, daí o nome integral definida.

Façam um levantamento sobre a história do surgimento das integrais e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.

As origens das integrais vieram na dificuldade de medir superfícies a fim de encontrar suas áreas, os geômetras começaram a estudar as áreas de figuras planas, onde era relacionada com o quadrado.

O fascinavam era as figuras geômetras figuras curvilíneas como o circulo, só que era limitada por arco de outra curva. Com isso procuraram se encontrar quadratura do círculo através de uma sequencia infinita de polígonos regulares infinito.

Os teoremas de Arquimedes ajudaram a soma infinita e também na contribuição para encontrar método para encontrar área de um círculo, integrações foram realizadas a fim de encontrar o volume de uma esfera e sua área.

A integral somente aparece para calcular centro de gravidade, ajudando a encontrar áreas, volumes, soma de infinitos e outros. Cavalieri mostrou o método obre quantidades infinitamente pequenas que são utilizadas hoje em dia com o tempo só foi se desenvolvendo por vários matemáticos, passando por Newton, Euler entre outros, Newton desenvolveu a derivação e integração utilizando na época na mecânica clássica ele mesmo definiu que a derivação era a inversa da integração. Depois de varias descobertas por outros matemáticos em relação a integração, Euler resumiu essas ideias para sua obra sobre integrais.

Passo 02

Leiam os desafios propostos:

Desafio A

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de ?

∫▒a^3/3=a^4/12+C

∫▒3/a^3 =3a^(-3) da =(3a^(-2))/(-2)+C= (-3)/〖2a〗^2 +C

∫▒3/a=3 ln⁡a +C

Desafio B

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C´(q) =1000 + 50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C(0) = 10.000 , a alternativa que expressa C(q) , o custo total para se perfurar q pés, é:

Desafio C

No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por: C(t)=16,1 x e 0,07t . Qual das alternativas abaixo responde corretamente a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?

16〖,1e〗^(0,07x3 )=19,86

Desafio D

A área sob a curva y = ex ⁄ 2 de x = −3 a x = 2 é dada por:

∫_2^(-3)▒e^(x/2) dx =2e^(x/2)=2e^((-3)/2)-2e^(2/2)=0,4463-5,4366=4,99

Passo 03

Marquem a resposta correta dos desafios A, B, C e D, justificando através dos cálculos realizados, o porquê de uma alternativa ter sido considerada.

Para o Desafio A:

A resposta que obtemos nos cálculos executados para esse desafio foi a foi à alternativa (b) que direciona a associação ao número 3, para execução dos cálculos usaram os conhecimentos com integral indefinida aprendido em aula, no desafio A do passo anterior mostra com clareza as passagens matemáticas utilizadas, assim chegando à resposta exata.

Para o Desafio B:

A resposta que obtemos nos cálculos executados para esse desafio foi a foi à alternativa (a) que direciona a associação ao número 0, o desenvolvimento deste desafio utilizamos uma ferramenta estudada na aula de Calculo II onde se falava de custo marginal, juntando esse conhecimento com as regras para integração chegamos num resultado final, onde obtemos uma formula que mostrará o custo final conforme a variação da medida da perfuração.

Para o Desafio C:

A resposta que obtemos nos cálculos executados para esse desafio foi a foi a alternativa (c) que direciona a associação ao número 1, usando a formula dada no desafio C estabeleceram duas soluções usando o algarismo final dos anos citados no desafio, no caso de 1992 usamos o número 2, e no caso de 1994 usamos o número 4, quando esses valores foram substituídos nas formulas gerou um resultado que ao somados mostrou