Calculo II

Estudos das Derivadas

Conceito e Aplicações:

As noções básicas sobre derivadas de funções e algumas de suas aplicações nas áreas da Calculo II. A noção de derivada é uma das mais importantes e poderosas ferramentas da Matemática.

Para um bom entendimento sobre derivadas necessitamos do conceito de taxa de variação média e também o de taxa de variação instantânea. São dois conceitos simples, importantes e fundamentais para o entendimento das derivadas.

Taxa de variação média

Definição: Se y = f(x) e se x varia de x0 ax0+ x, então y varia de f(x0) a f(x0 + x). Assim, a variação em y que podemos denotar por y seráf(x0 + x) - f(x0), quando a variação de x for x. Então a taxa média de variação de y (a razão média de variação) por unidade de variação em x, quando x varia de x1 a x1 + x será

f(x)=2x+3x0= -5 x0+∆x=5

f(x0+∆x)=2*5+3= 10+3=13

f(x0)=2*(-5)+3= -10+3= -7

∆x=5-(-5)=10

T.M.V.=f=(13-(-7))/10→f=20/10 = 2

Taxa de variação instantânea:

Definimos a taxa de variação instantânea de uma função em um ponto da mesma forma que definimos a velocidade instantânea: consideramos a taxa de variação média em intervalos cada vez menores. Essa taxa de variação instantânea é chamada de derivada de f em a e denotada por f’(a).

A derivada de f em a, denotada por f' (a) é definida por:

Taxa de variação em de f em a =

(f^' (a)=lim)┬( h→0)⁡〖(f (a+h)- f(a))/h〗

Se o limite existe, dizemos que f é diferenciável em a

Exemplo:

A fórmula de r = Com h = 0,01 e h= - 0,01 temos os quocientes de diferenças.

(f(1,01)- f(1))/0,01≈0,2061 e (f (0,99)- f (1))/0,01 ≈0,2075

Com h = 0,001 e h = - 0,001,

(f(1,001)- f(1))/0,01≈0,2067 e (f (0,999)- f (1))/(-0,001) ≈0,2069

Os valores desses quocientes de diferenças sugere que o limite está entre 0,2061 e 0,2075. Concluímos que o valores de deve ser em torno de 0,207; escolhendo valores de h confirma nossa hipótese. Logo,

f^' (1)= taxa de variação instantânea de raio em relação ao volume em V = 1 ≈0,207.

Derivada do produto de função por uma constante

A derivada do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela derivada da função.

g(x)=k*f(x)→g(x)=k*f(x)

Derivada da função potência

A derivada de uma função potência de x, de expoente genérico “n", é verificada pela definição de derivadas e pelo binômio de Newton.

f(x)=x^n→f^,(x)= n*x^(n-1)

Prática da derivada

A derivada de uma função y = f (x) é a razão entre os acréscimos infinitesimais da função y e da variável x. A derivada é portanto uma taxa de variação instantânea, logo a interpretação gráfica é a mesma.

Seja y = f (x) cujo gráfico é mostrado na figura. A derivadady/dx para x = a representada graficamente pelo coeficiente angular da tangente à curva no ponto x = a, ou seja,

dy/dx>>>tg a

A derivada de segunda

Como a derivada é, ela própria, uma função, podemos considerar sua derivada. Para uma função f, a derivada de sua derivada é chamada de derivada segunda e denotada por f’ (lê-se “f duas linhas”). Se y = f(x), a derivada segunda também pode ser denotada por (d^2 y)/〖dx〗^2 ,o que significa d/dx (d/dx) , a derivada de dy/dx.

Como fӎ a derivada de f' , temos:

Se f" > 0 em um intervalo, então f' é crescente nesse intervalo.

Se f" <0 em um intervalo, então f' é decrescente nesse intervalo.

O que significa f' ser crescente ou decrescente? A figura abaixo mostra um exemplo no qual f' é crescente e o gráfico de f’se curva para cima, ou seja, é convexo.

Significa de f": a inclinação aumenta da esquerda para a direita, logo f “é positiva é convexa.

Se f”> 0 em um intervalo, então f' é crescente, logo o gráfico de f é côncavo no intervalo.

Se f' < 0 em um intervalo, então f’ é decrescente, logo o gráfico de f é convexo no intervalo.

No exemplo abaixo f' é decrescente e o gráfico se curva para baixo, ou seja, é côncavo.

Significa de f": a inclinação diminui da esquerda para a direita, logo f “é negativa e f" é côncava.

Derivada da soma de funções

A derivada de uma soma de funções é igual à soma das derivadas dessas funções.

f(x) = u(x) + v(x)→ f(x) = u(x) + v(x)

Derivada de soma e diferenças

Suponha que temos duas funções de f(x)e g(x), com os valores listados na tabela abaixo os valores da soma f(x)+g(x)estão listados na tabela

Vemos que a soma dos incrementos de f(x)edeg(x)nos da o incremento de f(x)+g(x). Por exemplo, quando xvai de 0 a 1 f(x) aumenta de 10 eg(x) aumenta0,2 , Enquanto f(x)+g(x) aumenta 110,2 - 100 = 10,2 . analogamente, quando x varia de 3 a 4 f(x) aumenta de 40 eg(x) de 0,2 , enquanto f(x)+g(x) aumenta 200,8 -160,6 =40,2 .

Desseexemplo, vemos que a taxa segunda a qual f(x)+g(x) aumenta é a soma da taxas de aumento de f(x) e de g(x)

Um argumento análogo de f(x)-g(x) . Em termos derivadas:

se fe g são diferenciaveis entao:

d/dx ⌊f(x)+g(x)⌋=f´(x)+g(x)

dy/dx [f(x)-g(x)]=f´(x)-g(x)

Soma de funções

x f(x) g(x) f(x)+g(x)

0 100 0 100

1 110 0,2 110,2

2 130 0,4 130,4

3 160 0,6 160,6

4 200 0,8 200,8

Demonstração

Usando a definição da derivada

d/dx [f(x)+g(x)]

(=lim)┬(h→0)⁡〖([f(x+h)+g(x+h)]-[f(x)+g(x)])/h〗

lim┬(h→0)⁡[⏟(█((f(x+h)-f(x))/h@))┬(limitedissoef´(x) )+⏟(█((g(x+h)-g(x))/h@))┬(limitedissoeg´(x) ) ]

=f´(x)+g(x)

Derivada da função exponencial

A população do México no início da década de 1980 é dada na tabela abaixo. Para ver como a população está crescendo olhamos o aumento da população na terceira coluna. Se a população tivesse aumentado linearmente, todos os números da terceira coluna seriam os mesmos.

Suponhamos que dividimos a população de cada ano pela do ano anterior. Por exemplo,

População em 1981 = 69,13 milhões = 1,026

População em 1980 67,38 milhões

População em 1982 = 79,93 milhões = 1,026

População em 1981 69,12 milhões

O fato de que ambos os cálculos dão 1,026 mostram que a população cresceu em torno de 2,6% entre 1980 e 1981 e entre 1981 e 1982. Cálculos análogos para outros anos mostram que a população cresceu por um fato em torno de 1,026 ou 2,6%, todos os anos. Sempre que temo um fator de crescimento constante (1,026 aqui), temos crescimento exponencial. A população t anos depois de 1980 é dada pela função exponencial.

P = 67,38 (1,026)t.

Se supusermos que a fórmula é valida por 50 anos, o gráfico da população tem a forma ilustrada na figura abaixo. Como a população está crescendo cada vez mais rápido, o gráfico fica cada vez mais em pé: dizemos que ele é conexo. Mesmo funções exponenciais que crescem vagarosamente no início, como esta que, acabam finalmente, crescendo muito rapidamente.

Ano População (milhões) Variação na população (milhões)

1980 67,,8 1,75

1981 69,13 1,80

1982 70,93 1,84

1983 72,77 1,89

1984 74,66 1,94

1985 76,6 1,99

1986 78,59

Funções logarítmicas

Aproximamos á população do México ( em milhões) pela função

P = f (t) = 67,38 ( 1,026)t,

Onde t é o numero de anos desde 1980. Suponhamos que em vez de calcular a população no instante t, queremos saber quando a população vai chegar a 200 milhões. Queremos achar valor de t para o qual

200 = f (t)= 67,38 ( 1,026)t.

A derivada da função exponencial

Sabemos, que a derivada de f(x)=2^x em x=0 e dada por

f´(0)=lim┬(h→0)⁡〖(2^h-2^0)/h〗 = lim┬(h→0)⁡〖(2^h-1)/h〗≈0,6931.

A estimativa para esse limite e obtida calculando-se((2^h-1))⁄h para valores pequenos de h analogamente podemos estimar a derivada em x=1 ex=2:

f´(1)=lim┬(h→0)⁡〖(2^(1+h)-2^1)/h〗≈1,3863,

f´(2)= lim┬(h→0)⁡〖(2^(2+h)-2^2)/h〗≈2,7726

Você percebe a relação entre esse valore da derivada? Se observarem que 5,436≈2

(2,718)e que 10,872≈4(2,718 )

f´(0)≈2,718=2,718 ∙2^0

f´(1)≈5,436=2,718 ∙2^1

f´(2)≈10,872=2,718 ∙2^2

As regras do produto e do quociente

Sabemos como encontrar derivadas de potências e exponenciais, e de soma e múltiplos constantes de funções. Essa seção mostra como encontrar derivadas de produtos e quocientes.

Par expressar o quociente de diferentes de funções gerais vale a pena usar uma notação adicional. Escrevemos ∆f, que se lê “delta de f”, para representar uma pequena variação no valor de f:

∆f = f (x + h) –f (x).

Como essa notação, a derivada é o limite do quociente ∆flh:

f’(x) =lim┬(h→0)⁡〖∆f/h〗.

A regra do produto

Suponhamos que conhecemos as derivadas de f (x) e de g (x) e que queremos calcular a derivada do produto f (x) g (x). A derivada o produto é calculada através do limite.

(+d [ f(x)g(x)])/dx =lim┬(h→0) ( [f(x+h)g(x+h)-f(x)g (c))/h

Para visualizar e quantidade f (x + h) g (x + h) – f(x) g(x), considere o retângulo de lados f(x + h) e g(x +h) na figura abaixo, onde ∆f= f(x+h) – f(x) e ∆g = g(x+h) – g(x).

Então,

f (x + h) g (x + h) – f(x) g(x)= (Área de todo o retângulo)

(Área não sombreada)

= Àrea dos três retângulos sombreados

= ∆f . g(x) + f(x).

=∆g +∆f.∆g.

Dividindo por h

( [f(x+h)g(x+h)-f(x)g (c))/h = ∆f/h. g(x) + f (x)

∆g/h + (∆f . ∆g)/h

Para calcular o limite quando h →0, vamos examinar as três parcelas á direita do sinal de igualdade separadamente. Note que

lim┬(h→0) ∆f/h . g(x)= f’ (x) g (x) e

lim┬(h→0)f(x) .∆g/h= f(x) g’(x).

Na terceira parcela, multiplicamos o numerador pelo denominador por h para obter ∆f/h .∆g/h.h. Então

lim┬(h→0) (∆f . ∆g)/h = lim┬(h→0) ∆f/h .∆g/h . h= lim┬(h→0) ∆f/h

lim┬(h→0) ∆g/h . lim┬(h→0)h = f’ (x). g’ (x). 0 =0.

Portanto podemos concluir que

lim┬(h→0) (f(x+h)g(x+h)-f(x)g (c))/h

= lim┬(h→0) (∆f/h.g(x)+ f(x).∆g/h+ (∆f. ∆g)/h)

lim┬(h→0) ∆f/h . g(x)+lim┬(h→0)⁡f(x).∆g/h+lim┬(h→0) (∆f. ∆g)/h

= f’(x) g(x) + f(x) g’(x).

A Regra do Produto

Se u= f (x) e v = g(x) são diferenciáveis, então:

(fg)' = f'g + fg'

A regra do produto também pode ser escrita na forma

d(uv) =du . v+ u .du

Dxdxdv

Em palavras:

A derivada de um ponto de duas funções é a derivada

da primeira vezes a segunda mais primeira vezes a

derivada da segunda.

A regra do quociente

Suponha que queremos derivar a função de forma Q(x) = f(x)/g(x). (É claro que temos de evitar os pontos onde g(x) = 0.) Queremos uma fórmula para Q' em função de f’ e de g’.

Supondo Q diferenciável, 3 podemos usar a regar do produto para f(x) = Q(x) g(x):

f’(x) = Q'(x) g(x) + Q (x) g’(x)

=Q'(x) g(x) +(f(x))/(g(x))g’(x).

Resolvendo para Q'(x), obtemos

Q'(x) = f^' (x) (f(x)/(g(x)))/(g(x))

Multiplicando o numerador e o denominador po g(x) para simplificar, obtemos

(u/v)^'= (f^' (x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))2

Temos, então a seguinte regra:

Se u= f (x) e v = g(x) são diferenciáveis, então:

(f/g)^'= (f^' g-fg')/g2

ou equivalente,

d/dx (u/v) = (d/dx .v-u .d/dx)/v2

Em palavras:

A derivada de um quociente é a derivada do numerador

vezes o denominador menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo isso dividido pelo quadrado do denominador.

A regra de cadeia

Funções compostas como sem(3t) ou e^(〖-x〗^2 ) ocorrem , de fato , com frequências veremos nesta seção como derivar tais funções

A regra da cadeia

dy/dx=dy/dz . dz/dx

Se f egsão funções diferenciáveis

d/dx=f(g(x))=f(g(x)) .g´(x)

Em palavras

A derivada de uma função composta é o produto das derivadas das funções “de fora ” e “ de dentro ” a derivada da função “de fora ” tem de ser calculada na função de dentro.

Derivada da função seno

A derivada da função seno de um arco u, onde u é a função de x, é:

y = sen u→ y’ = u’ .cos u

Derivada da função co-seno

A derivada da função co-seno de um arco u, onde u é uma função de x, é:

y = cos u→ y’ = – u’ .sen u