Calculo II

P (q) = SUMÁRIO

INTRODUÇÃO 2

DERIVAÇÃO E O MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO 3

Velocidade instantânea 3

Gráfico do espaço x tempo 3

Gráfico velocidade x tempo 3

Aceleração instantânea 3

Gráfico da aceleração x tempo 4

DERIVAÇÃO: FUNÇÃO EXPONENCIAL 4

Constante de Euler 4

Gráfico constante de Euler 4

Séries harmônicas 4

Crescimento populacional 4

Gráfico do crescimento populacional x tempo 5

APLICAÇÕES DE DERIVADAS 4

3.1. Empresa de consultoria e assessoramento 4

3.2 Protótipo da nova lata de óleo 4

3.3 Velocidade de envasamento do óleo 4

3.4 Volume máximo de óleo no bico 4

4. EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DE DERIVADAS EM EMPRESAS 4

4.1 Tabela função custo e tabela função receita 4

4.2 Lucro máximo versus quantidade produzida 4

4.3 Receita média marginal 4

CONSIDERAÇÕES FINAIS 6

REFERÊNCIAS 7

INTRODUÇÃO

Neste estudo solicitado pela disciplina “Cálculo II”, da Faculdade Anhanguera-unidade I de Joinville iremos demonstrar casos especiais como, por exemplo: derivada da função do espaço, constante de Euler e séries harmônicas, tendo como objetivo aplicar os conhecimentos adquiridos em sala de aula para identificar e resolver os problemas de engenharia aqui distribuídos.

Na etapa 1 deste trabalho, abordaremos assuntos como a derivada em função do tempo, espaço e velocidade. Faremos uma comparação das fórmulas utilizadas na Física, com as usadas em Cálculo para explicar o significado da função V (velocidade instantânea) a partir da função S (espaço), ou seja, função V(velocidade) é derivada primeira da função S (espaço), e a (aceleração) como sendo a derivada segunda.

Na etapa 2 deste trabalho, abordaremos assuntos da derivação da função exponencial, tais como, Constante de Euller, séries harmônicas e o crescimento populacional.

CONCEITO DE DERIVADA E REGRAS DE DERIVAÇÃO

1.1 VELOCIDADE INSTANTÂNEA A PARTIR DO LIMITE

Geralmente há varias maneiras de representar e mostrar algo se move: velocidade média e velocidade escalar média, as duas medidas há um intervalo de tempo Δt. Entretanto esta expressão mostra o objeto que se move em um determinado instante, ou seja, sua velocidade instantânea ou simplesmente velocidade v.

A velocidade em um determinado instante de tempo é requerida a partir da velocidade média diminuindo-se o intervalo de tempo Δt, forçando-o a tender a zero. À medida que Δt é diminuindo, sua velocidade média se aproxima de um valor limite, que nada mais é, do que a velocidade no determinado momento:

〖V=lim┬(t→0)〗⁡〖((s-so))/t)^ 〗

A velocidade instantânea é o limite da velocidade média, quando consideramos um intervalo de tempo tendendo à zero, o que é fornecido pela derivada da função posição, no instante desejado. Portanto, temos:

Vt =lim┬(t→0) (x(t+∆t)-x(t))/∆t

Esse limite (lim) define a derivada da posição com relação ao tempo, ou seja, a velocidade instantânea num dado instante é a derivada com relação ao tempo da função que descreve a posição da partícula neste dado instante.

Logo, a velocidade instantânea num dado instante t_0 é expressa por:

A fórmula da derivada é a seguinte:

f^' (x)=lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)-f(x))/h〗

Portanto, através das fórmulas, pode-se concluir que a velocidade instantânea é a função da derivada da função horária dos espaços, ou seja, derivada primeira. Então, utilizando a fórmula, temos que:

s=s_0+v_0.t+(a.t^2)/2

s^'=v=v_0+a.t

Definimos então que em cálculo a velocidade instantânea será sempre o número a que ligam as velocidades médias quando o intervalo diminui de tamanho, lembrando que será sempre quando h torna-se cada vez menor. Então, velocidade instantânea é igual:

lim┬(h→0)⁡〖(s(a+h)-s(a))/h〗

Resumindo, a velocidade instantânea de um objeto em um instante t = a é dada pelo limite da velocidade média em um intervalo quando esse intervalo diminui em torno de a.

As expressões (Equações) utilizadas tanto em física quanto em cálculo seguem o mesmo raciocínio, sendo que em física, utilizamos a derivada para representar a posição do objeto dado sua posição em relação ao seu tempo descrita por dx (t) dt t=t_0 em que dx é a denotação da função posição ou espaço e t a denotação da função tempo.

Como exemplo de aplicação da função derivada, supomos um objeto que descreve um movimento retilíneo uniformemente variado e compreende a seguinte função horária da posição: s=0-2t+〖12〗^* t^2,com o tempo em segundos(s) e a posição em metros (m).

Como já vimos anteriormente a função horária da velocidade é uma derivação da função horária do espaço. Utilizando as técnicas de derivação, obtêm-se:

S= 0-2t+6 t²

s^'=0.0-1.2.t^0+2.6t^1

s^'=0-2.1+12.t

Derivando posição em relação ao tempo:

V=-2+12t

1.2 GRÁFICOS DO ESPAÇO X TEMPO

s_0=0-2.0+6.0^2