ELIPSE hipérbole

Definição:

Chamamos de cônicas os lugares geométricos dos pontos obtidos através de “cortes”

de um plano sobre um cone cilíndrico reto.

PARABOLA

ELIPSE

HIPERBOLE

As Cónicas

Estamos perante uma grandiosa e magnífica obra, considerada por muitos, como o ponto máximo da matemática grega.

Constituída por oito livros, só os sete primeiros chegaram aos nossos dias. Destes, só os primeiros quatro é que existem em grego. Os outros três existem numa tradução arábe. Em 1710, Edmund Halley fez uma tradução latina dos oito livros, surgindo posteriormente traduções noutras línguas.

No prefácio geral da obra, Apolónio explica as razões que o levaram a escrevê-lá:

"... levei a cabo a investigação deste assunto a pedido de Neucrates o geómetra, quando ele veio a Alexandria e ficou comigo, e, quando tinha trabalhado os oito livros, dei-lhos de imediato, apressadamente, porque ele estava de partida; não foi possível portanto revê-los. Escrevi tudo conforme me ia ocorrendo, adiando a revisão até ao fim."

(in, Thomas Heath, A History of Greek Mathematics, volume II, página 129).

Para se avaliar a excelência desta obra refira-se que não se descobriram propriedades novas das cónicas até ao século XIX, altura em que as elipses, parábolas e hipérboles começaram a ser estudadas na Geometria Projectiva.

Livro I

Apolónio começa por mostrar que, de um único cone, podem ser obtidas as três espécies de secções cónicas bastando para tal fazer variar a inclinação do plano. Como se pode ver na figura:

A parábola é a curva que se obtém ao cortar uma superfície cónica com um plano paralelo a sua geratriz.

A elipse é a curva que se obtém ao cortar uma superfície cónica com um plano que não é paralelo a nenhuma das geratrizes.

A hipérbole é a curva que se obtém ao cortar uma superfície cónica com um plano paralelo as duas geratrizes.

Apolónio vai utilizar pela primeira vez os termos parábola, elipse e hipérbole para designar estas curvas. Nomes que foram adoptados dos pitagóricos para quem o termo elipse era usado quando um rectângulo de área dada era aplicado a um segmento que lhe faltava um quadrado; o termo hipérbole era usado quando a área excedia o segmento; o termo parábola era usado quando não havia excesso nem falta.

Curvas Equação Propriedade

Parábola

Para qualquer ponto sobre ela o quadrado sobre a ordenada é igual ao rectângulo sobre a abcissa x e o parâmetro l.

Elipse

Hipérbole

ou

Apolónio mostrou que o cone não precisa de ser recto (pode ser oblíquo ou escaleno) e que um cone oblíquo tem, não só uma infinidade de secções circulares paralelas à base, mas também um conjunto infinito de secções circulares dadas a que chamou secções subcontrárias. Mostrou ainda que os pontos médios de um conjunto de cordas paralelas a um diâmetro de uma elipse ou hipérbole formam um segundo diâmetro, a que chamoudiâmetros conjugados. A partir dos diâmetros conjugados, Apolónio mostrou que, se uma recta é traçada por uma extremidade de um diâmetro de uma elipse ou hipérbole paralelamente ao conjugado, a recta tocará a cónica e mais nenhuma recta pode cair entre ela e a cónica, isto é, a recta é tangente à cónica.

Segundo Boyer, no livro I, Apolónio "analisou as propriedades fundamentais das curvas mais completamente e com mais generalidade que os escritos de outros autores". (Carl Boyer, A History of Mathematics, página 165).

Livro II

Apolónio contínua o estudo dos diâmetros conjugados e tangentes. Por exemplo, no caso da hipérbole, se P for qualquer ponto sobre qualquer hipérbole, com centro C, a tangente em P cortará as assíntotas nos pontos L e L` que são equidistantes de P. E toda a corda QQ` paralela a CP encontrará as assíntotas nos pontos K e K` tais que QK=QK` e QK.QK`=CP².

Apolónio também mostra como traçar tangentes a uma cónica usando a teoria da divisão harmónica. Por exemplo, no caso da elipse, se Q é um ponto da curva, Apolónio traçava uma perpendicular QN de Q ao eixo AA` e achava o conjugado harmônico T de N em relação a A e A`. Então, a recta que passa por T e Q é a tangente à elipse.

Livro III

Como se pode ler no prefácio geral da obra, Apolónio tinha grande admiração por livro III:

"O terceiro livro contém muitos teoremas notáveis, úteis para a síntese de lugares sólidos e determinações de limites; a maior parte e mais bonitos desses teoremas são novos e, quando os descobri, observei que Euclides não tinha efectuado a síntese do lugar com relação a três ou quatro rectas, mas só uma parte causal dela e não bem-sucedida; pois a síntese não poderia ser completada sem minhas descobertas adicionais" (in, Elza Gomide, História da Matemática, página 103).

Apolónio mostra aqui, por métodos sintéticos, teoremas que lhe permitem determinar o seguinte problema: Dadas três ou quatro rectas de um plano, achar o lugar de um ponto P, que se move de modo que o quadrado da distância de P a uma das rectas seja proporcional ao produto das distâncias das outras duas.

Como mostra Boyer, "poucos problemas tiveram papel tão importante na história da matemática quanto o do "lugar a três ou quatro rectas" (in, Elza Gomide, História