EQUAÇÕES DIFERENCIADAS LINEARES DE ORDENS DE SUPERVISÃO

3 ETAPA II

3.1 AULA-TEMA: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM SUPERIOR

3.1.1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM SUPERIOR

Uma E.D.O. de segunda ordem é da forma:

ou então

Dizemos que a equação (1) é linear quando a função  for linear em y e y’, ou então quando a equação (1) puder ser escrita na forma:

onde p, q e g são funções de uma variável t.

Em geral uma E.D.O. de segunda ordem linear pode ser apresentada na forma:

Para os valores em que P(t) ≠ 0 podemos dividir a equação por P(t) e obter a forma geral (2).

Iremos estudar métodos para resolver E.D.O.'s de segunda ordem lineares. Um problema de valor inicial para uma equação diferencial de segunda ordem tem que ter duas condições iniciais y(t0)= y0 e y’(t0)= y’0 ou seja,

É um Problema de Valor Inicial (P.V.I.). Uma equação linear de segunda ordem é homogênea se a função g(t) na equação (2) (ou a função G(t) na equação (3)) forem identicamente nulas, isto é,

ou

São equações diferenciais lineares homogêneas. Veremos que será fundamental saber resolver os problemas de equações homogêneas para poder depois resolver as equações não homogêneas, onde os termos g(t) (ou G(t)) podem ser funções não nulas.

3.1.2 SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS DE EQUAÇÕES LINEARES HOMOGÊNEAS

Teorema 1 - (Existência e Unicidade)

Considere o problemade valor inicial

Onde p, q e g são funções contínuas em um intervalo aberto I =(α, β) contendo o ponto t0. Então existe uma única solução y = ϕ(t) para o problema (4), para todo t ∈ I.

Exemplo 2 - Encontre o maior intervalo no qual a solução do P.V.I. abaixo existe e é única.

Primeiro escrevemos a equação na forma (2):

Os pontos de descontinuidade são t =0 e t =3. Portanto um intervalo I onde p, q e g são todas contínuas e contém o ponto t0 =1 é I = (0, 3).

Exemplo 3 - Encontre a única solução do P.V.I.:

Onde p e q são contínuas em um intervalo aberto I contendo t0.

Solução: y = ϕ(t)=0, para todo t ∈ I.

Teorema 4 - (Princípio da Superposição)

Se y1 e y2 são soluções da equação diferencial y"+p(t)y’+q(t)y=0 (5); então a combinação linear c1y1+c2y2 também é solução de (5), para quaisquer constantes c1 e c2.

Demonstração: Seja

então

e

Substituindo na equação (5):

Pois y1 e y2 são soluções de (5). Portanto y é solução de (5).

Princípio da Superposição afirma que quaisquer duas soluções da equação homogênea (5) geram uma terceira solução da equação (5). Mas será que toda solução de (5) é uma combinação linear de duas outras soluções de (5)? Dizemos que duas soluções y1 e y2 da equação (5) formam um conjunto fundamentalde soluções da equação (5) se toda solução de (5) for uma combinação linear de y1 e y2.

Teorema 5- Sejam p e q funções contínuas em um intervalo I =(α, β). Sejam y1 e y2 soluções da equação diferencial

Suponha que:

Então qualquer solução da equação (6) é uma combinação linear de y1 e y2.

Demonstração: Seja y = ϕ(t) uma solução de (6). Queremos encontrar constantes c1 e c2 tais que

e consequentemente

Fixemos um ponto t0 ∈ I. Então temos o seguinte sistema:

Este sistema tem solução única c1 e c2 se e somente se

Ou seja

Assim se c1 e c2 são soluções do sistema (7) então as funções c1y1+c2y2 e y satisfazem a equação (6) com valor inicial t0. Pelo Teorema de Existência e Unicidade (Teorema1) temos que a solução é única. Logo

y=c1y1+c2y2 é chamada de solução geral da equação (6).

O valor y1(t)y’2(t)-y’1(t)y2(t) é chamado de Wronskiano de y1 e y2 no ponto t e é denotado por W(y1,y2)(t). A função Wronskiano tem uma importante propriedade, que melhora o Teorema 5.

Teorema 6 - Sejam p e q funções contínuas em um intervalo I=(α,). Sejam y1 e y2 soluções da equação diferencial

Então ou W(y1, y2) é identicamente zero em I ou W(y1, y2) nunca é zero em I. Em outras palavras, ou W(y1, y2)(t) = 0, para todo t  I, ou W(y1, y2)(t) 6= 0, para todo t I.

Exemplo 7 - Mostre que y1(t) = t1/2 e y2(t) = t-1 formam um conjunto fundamental de soluções da equação

Precisamos verificar primeiro se y1 e y2 são soluções da equação (8).

Substituindo em (8):

Portanto y1 é solução de (8).

Portanto y2 é solução de (8).

Para que y1 e y2 formem um conjunto fundamental de soluções da equação (8), pelos Teoremas 5 e 6, basta que o Wronskiano W(y1; y2)(t) seja diferente de zero para algum

t > 0. Agora

Logo y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções da equação (8).

3.1.3 INDEPENDÊNCIA LINEAR E O WRONSKIANO

Dizemos que duas funções f e g são linearmente dependentes (l.d.) em um intervalo