ESTRUTURAS ALGÉBRICAS

EXERCITANDO

Mostre que toda partição de um conjunto não vazio A determina uma relação de equivalência em A e conclua que podemos identificar as relações de equivalência em A com as partições de A.

# A=ak;{com k ∈Z}

am R an=m-n for inteiro (é reflexiva)

am R an=m-n inteiro→n-m inteiro→an R am (é simétrica)

ax R ay e ay R az

x-y inteiro ; y-z inteiro

x-z inteiro

ax R az (é transitiva)

# Poratnto pode-se perceber que a partição é o próprio conjunto,pois qualquer número

estará relacionado.

2. Encontre os conjuntos quocientes das relações de equivalência do exercício anterior.

a) U={(x,y)∈NxN;x-y ∈ " " };

A=N={0,1,2,…}

Classes de equivalência C_x={y∈A;xRx},R=(x-y∈Z)

Tomemos,poe exemplo,x=0→C_0={y∈A;0Ry}x=0→0-0=0∈Z

# Dai temosA/R={N,Z-N}

b) M={(x,y)ϵ NxN;x-y ϵ N U {0} }

Considerando que N U {0}={0,1,2,…},esta não é uma relação de equivalência,pois

na propriedade simétrica teríamos y-x∉N U {0}.

# Portanto não tem conjunto quociente.

c) Y={(x,y)∈NxN;mdc(x,y)=1}

y=mdc(x,y)={2,3,5,7,11,13,…}

Reflexiva: (x,x)∉Y.

# Não é relação de equivalência,logo não tem como determinar seu conjunto quociente.

d) R={(x,y) ϵ NxN;x+y é múltiplo de 3}

Reflexiva:x+x=2x,que não é múltiplo de três,seria somente se x fosse de fato múltiplo de 3.

# Não é relação de equivalência,logo não tem como determinar seu conjunto quociente.

e) Y={(x,y) ϵ NxN;x-y é inteiro ímpar}

Reflexiva:x-x=0,que não é inteiro ímpar,portanto não é reflexiva.

# Não é relação de equivalência,logo não tem como determinar seu conjunto quociente.

3. Verifique quais das seguintes relações, no conjunto dos números inteiros, são relações de equivalência.

a) S={(x,y)∈ x ;x≥y}

Reflexiva: ∀ x ∈ ,x R x,∶

x≥x,é reflexiva,pois para todo elemento de vai existir um par (x,x).

Simétrica:∀ x,y ∈ x R y→y R x:

x≥y→y≥x,não é simétrico,pois para todo par simétrico,(x,y),o par (y,x)

vai acontecer apenas para x=y.

Transitiva:∀ x ∈ ,x R y e y R z→x R z:

Sendo x≥y e y≥z,ou seja,x≥y≥z,logo x≥z ∀a,b,c∈ .

Ex.:8≥5≥1,logo 8≥1.Sendo Portanto transitiva.

# Não é uma relação de equivalência,pois não é simétrica.

b) U={(x,y)∈ " " x" " ;x-y=7k,k∈" " }

Reflexiva:

x-x=7k→0=7k,é reflexiva,pois k=0,onde 0 ∈ .

Simétrica:

Supondo x R y,∃ k_0∈ ;

x-y=7k_0 (multiplicando por -1)→y+x=7(-k_0 ),onde k_0∈ ,logo é simétrica.

Transitiva:

Se x R y e y R z→x R z

∃〖 k〗_1∈ →x-y=7k_1 e ∃〖 k〗_2∈ →y-z=7k_2,somando estas relações temos:

(x-y)+(y-z)= 7k_1+7k_2→(x-z)=7(k_1+k_2 ),sendo (k_1+k_2 )=k_0:

(x-z)=7k_0∈ ,onde x R z,sendo portanto transitiva.

# É uma relação de equivalência.

c) R={(x,y)∈ " " x" " ;x+y é múltiplo de 3}

Reflexiva:

x+x=3k,não é reflexiva,pois só será válida quando x for de fato um múltiplo de 3.

Logo já se pode concluir que esta relação # Não é uma relação de equivalência.

d) V={(x,y)∈ " " x" " ;x é divisor de y}

Reflexiva:

x|x,é reflexivaa,pois qualquer inteiro divide a sí mesmo.

Simétrica:

Se x|y não necessariamente y|x,apenas se x=y.Então não é simétrica.

Logo # Não é uma relação de equivalência.

e) X={(x,y)∈ " " x" " ;x-y é par}

Reflexiva:

x-x=0,que é par,então é reflexiva.

Simétrica:

Se x-y é par,y-x=-(x-y),onde também é par.Sendo portanto simétrica.

Transitiva:

Se x-y é par e y-z é par,então a soma destes números (x-y)+(y-z)=x-z,

também é um número par,portanto é transitiva.vejamos:

(x-y)=2k_0 e y-z=2k_1 ,Somando temos:

(x-y)+(y-z)=2k_0+2k_1→ (x-z)=2(k_0+k_1 ),sendo k_0+k_1=k,temos:

(x-z)=2k,que é par.

# É uma relação de equivalência.

4. Encontre os conjuntos quocientes das relações de equivalência do exercício anterior.

# São relacões de equivalência da questão anterior apenas os itens b e e,portanto temos