Velocidade instantânea

FACULDADE ANHANGUERA DE JACAREÍ

3ª SÉRIE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO

ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA

CALCULO 2

Alessandro Alves RibeiroRA 6450300705

Patrick Rafael de OliveiraRA 7028524977

Mateus dos Santos DiasRA 6238204666

Rui Fernando de SouzaRA 631474722

Ricardo Martins VieiraRA 6680341552

Lucas Garcia de OliveiraRA 6653382053

JACAREÍ/SP

2014

Etapa 1

Passo 1

A velocidade instantânea é quando queremos saber qual a velocidade de um determinado objeto em um instante no tempo, fazendo-o tender a 0. Por exemplo: Sabemos que um automóvel está percorrendo uma estrada a uma velocidade média de 10km/h, isso significa que ele percorre uma distância de 10km em 1 hora, mas durante esta 1hora ele irá acelerar, frear, consecutivamente... Então, se quisermos saber a velocidade deste automóvel, em cada instante desta 1 hora, precisará utilizar a velocidade instantânea a partir do limite, com [pic].

A velocidade em qualquer instante de tempo é obtida a partir da velocidade média reduzindo-o se o intervalo de tempo ΔΤ, fazendo-o tender a zero. Á medida que ΔΤ é reduzido, a velocidade média se aproxima de um valor limite, que é a velocidade naquele instante.

V=Lim ΔЅ = dЅ

ΔΤ→ 0 ΔΤ dΤ

A ideia fundamental aqui é que a velocidade é a primeira derivada (em relação ao tempo)

da função posição Ѕ (Τ).

Exemplo

Uma partícula movimenta-se de acordo com a equação da posição Ѕ= 8Τ². A posição da partícula em 3Ѕ, e a Vm quando ΔΤ→ 0 no mesmo tempo?

dЅ = 8.3² = 72m

Vm= lim d(Ѕ) → lim = d(8t²) → Vm = 28t →

dΤ ΔΤ→ 0dΤ

Vm = 16t → função da velocidade em relação ao tempo.

3x = Vm = 16.3 → Vm= 48m/s² Vm =f´(x) = Ѕt²

X= f1´(x) = Ѕt

A=16.t = 1.16 = 16m/s²

Comparar a fórmula aplicada na física com a fórmula usada em cálculo e explicar o significado da função v (velocidade instantânea), a partir da função s (espaço), utilizando o conceito da derivada que você aprendeu em cálculo, mostrando que a função velocidade é a derivada da função espaço.

Resposta:

Na formula aplicada na Física e Cálculo, a velocidade em qualquer instante de tempo é obtida através da velocidade média, reduzindo-a até tender a 0.

V varia conforme diminui o valor de S, desta forma se o valor de S diminui, consequente o valor de T também. Então podemos afirmar que a velocidade é derivada da função espaço.

Fórmula aplicada em Física: [pic]

∆x : é variação de espaço.

∆t : variação de tempo.

Fórmula aplicada em Cálculo: Velocidade Instantânea = [pic]

h : é o intervalo de tempo.

t: é o tempo.

s: espaço

Dar um exemplo, mostrado a função velocidade como derivada da função espaço, utilizando no seu exemplo a aceleração como sendo a somatória do último algarismo que compõe o RA dos alunos integrantes do grupo.

Alessandro Alves RibeiroRA 6450300705

Patrick Rafael de OliveiraRA 7028524977

Mateus dos Santos DiasRA 6238204666

Rui Fernando de SouzaRA 631474722

Ricardo Martins VieiraRA 6680341552

Lucas Garcia de OliveiraRA 6653382053

Somatória de RA:

Aceleração = 5+7+6+2+2+3=25

∆S= 5t²+10t → ∆s=5x(5)²+10x5=175m → tempo 5 segundos

∆v= 5t+5 → ∆v= 5x5+5= 30m/s²

Passo 2

Gráfico s(m) x t(s) x = 4.x t²+ + t3 + 7t – 8

Gráfico v(m) x t(s) v = 8x+3t²+7

Passo 3

Em física a aceleração é a taxa de variação (ou derivada em função do tempo) da velocidade. Ela é uma grandeza vetorial, desaceleração é a aceleração que diminui o valor absoluto da velocidade. Para isso, a aceleração precisa ter componente negativa na direção da velocidade. Isto não significa que a aceleração é negativa. Assim a aceleração é a rapidez com a qual a velocidade de um corpo varia. Desta forma o único movimento que não possui aceleração é o MRU .

α = dv/dt

Exemplo1:

Dada à função horária dos espaços de um móvel, em unidades do SI, obtenha as funções horárias da velocidade escalar e da aceleração escalar, nos casos:

a) s = 5 + 4t4 +2t3 - 7t2 + 10t

vm= 16t³+6t²-14t+10 (equação de velocidade média) primeira derivada.

α=48t²+12t-14 (equação da aceleração) segunda derivada.

Passo 4

Gráfico aceleração a(m/s²) x t(s) a=8+6t

Etapa 2

Passo 1

O que é a Constante de Euler?

A constante foi definida pela primeira vez pelo matemático suíço Leonhard Euler no artigo De Progressionibusharmonicusobservationes, publicado em 1735. Euler usou a notação C para a constante, e inicialmente calculou seu valor até 6 casas decimais. Em 1761 Euler estendeu seus cálculos, publicando um valor com 16 casas decimais. Em 1790 o matemático italiano Lorenzo Mascheroni introduziu a notação γ para a constante, e tentou estender o cálculo de Euler ainda mais, a 32 casas decimais, apesar de cálculos subseqüentes terem mostrado que ele cometera erros na 20°, 22° e 32 casas decimais. (Do 20° dígito, Mascheroni calculou 1811209008239.) (Wikipédia, 24/03/2012). Não se sabe se a constante de Euler-Mascheroni é ou não um número racional. No entanto, análises mostram que se γ for racional, seu denominador tem mais do que 10242080 dígitos (Havil, page 97). Em 1736, quando publicou o seu livro Mechanica, onde a dinâmica de Newton (1642-1727) foi apresentada de forma analítica, foi impresso pela primeira vez o número ℮. A partir deste momento, a notação do número foi facilmente aceita e adotada nos cálculos matemáticos, bem como a padronização da denominação de exponencial. A constante de Euler-Mascheroni é uma constante matemática com múltiplas utilizações em Teoria dos números. Ela é definida como o limite da diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural.

que pode ser condensada assim : em que E(x) é a parte inteira de x.]

Resumidamente a constante de Euler nos mostra o valor do limite quando n tende para o infinito. n ℮=lim→∞ 1+1 n 1+1

℮=lim→∞ (2) ℮=lim→∞ = 2 ℮=lim→∞ 5 ℮=lim→∞ 1+1 5 ;

Valores de n 1 5 10 50 100 500 1000 5000 10000 100000 1000000 (0,000001) 1

℮=lim→∞ (1,2) ℮=lim→∞ = 2,48832 ;

Constante ℮ 2 2,48832 2,59374246 2,691588029 2,704813829 2,71556852 2,716923931 2,718010049 2,718145935 2,718268297 1000000 ℮ ≈ 2,718 2,717 2,716 2,705 2,692 2,594 2,488 2 1 5 10 50 100 500 1000 5000 10000 100000 n

Conforme a função tende a +∞, mais ela se aproxima de 2,72.

Conforme tabela abaixo:

℮ = lim (1+1)n

n⇾∞ n

1 2

5 2,48832

10 2,59374246

50 2,691588029

100 2,704813829

500 2,715568521

1000 2,716923932

5000 2,71801005

10000 2,718145927

100000 2,718268237

1000000 2,718280469

Passo 2

Em matemática, o termo série harmônica refere-se a uma série infinita. Os estudos realizados por Pitágoras,revela que uma corda colocada em vibração não vibra apenas em sua extensão total, mas em seções menores, os ventres, que vibram em frequências mais altas que a fundamental. Pela relação entre os comprimentos das seções e as frequências produzidas por cada uma das subdivisões, pode-se facilmente concluir que a corda soa simultaneamente, na frequência fundamental (F) e em todas as suas frequências múltiplas inteiras.

Em física, série harmônica é o conjunto de ondas composto da frequência fundamental e de todos os múltiplos inteiros desta frequência. De forma geral, uma série harmônica é resultado da vibração de algum tipo de oscilador harmônico. Entre estes estão inclusos os pêndulos, corpos rotativos e a maior parte dos corpos produtores de som dos instrumentos musicais. As principais aplicações práticas do estudo das séries harmônicas estão na música e na análise de espectros eletromagnéticos, tais como ondas de rádio e sistemas de corrente alternada.

O ouvido humano consegue distinguir diferentes qualidades de som. As notas de um piano e de uma flauta são um exemplo. Mesmo quando um piano e uma flauta tocam duas notas idênticas, perfeitamente afinadas, ainda assim distinguimos uma da outra. Como isso ocorre, se a nota tocada é a mesma? O que diferencia os sons do piano e da flauta é o timbre de cada instrumento, algo que pode ser definido como a impressão sonora ou o “colorido” particular de cada som. Os timbres, por sua vez, resultam da série harmônica, que pode ser explicada como o conjunto de frequências sonoras que soa em simultaneidade com uma nota principal.

Uma série harmônica alternada é convergente como conseqüência do teste da série alternada, e seu valor pode ser calculado pela série de Taylor do logaritmo natural. Se definirmos no enésimo número harmônico tal que então Hn cresce tão rapidamente quanto o logaritmo natural de n. Isto porque a soma é aproximada ao integral cujo valor é ln(n). Mais precisamente, se considerarmos o limite: onde γ é a constante Euler-Mascheroni, pode ser provado que: 1. O único Hn inteiro é H1. 2. A diferença Hm - Hn onde m>n nunca é um inteiro.

Passo 3

Nt= No x ert n48= 50xe48x0,137326

No= 50xer8 n48= 50xe6x591673

150= 50xer8 n48= 36449,59

er8= 150/50

er8= 3

Ln er8 = 3

r8 = Ln3

r= Ln3/8

r= 0,13732

Etapa 3

Alessandro Alves RibeiroRA 6450300705

Patrick Rafael de OliveiraRA 7028524977

Mateus dos Santos DiasRA 6238204666

Rui Fernando de SouzaRA 631474722

Ricardo Martins VieiraRA 6680341552

Lucas Garcia de OliveiraRA 6653382053

Passo 1

O Maior Algarismo dos Ras é 9. Então 9 → D = 19

Achando o diâmetro.

D = 2*R

19 = 2R

Achando o Raio.

R = D/2

R = 19/2

R = 9,5 cm

Achando a Área da Circunferência.

Ac= ∏ * r²

Ac= ∏ * 9,5² cm²

Ac= 283,3 cm²

Achando o volume.

V = A . H

V = 283,3 cm² * 22,6 cm

V = 6.402,58 cm³

V = 6.402,58 cm³ / 1000 = > V = 6.4 dm ³

PASSO 2

Fazer um layout com escala, representando a lata de óleo do passo 1 e criar um protótipo em tamanho real. Fazer um relatório justificando de forma positiva a utilização desta nova embalagem, que deverá ser apresentada à diretoria da empresa “SoyOil”.

O layout será da seguinte forma:

Figuras desenhadas com valores diferendes mas devem ser usadas com R= 9,5cm , H= 23cm e V= 1133.54

EDITAL

* Resumo

* Ponto Positivo

* Ecológico

Criação de nova embalagem, para ajudar na publicidade da marca.

A nova embalagem é c ompacta, perfeita para pequenas famílias e inovadora no mercado. Pensamos principalmente em espaço, com 9,5 de diâmetro ela não ocupa tanto espaço na cozinha como as embalagens tradicionais , e também de custo menor é um atrativo para concorrer no mercado e ainda colocaremos mais embalagens nas prateleiras pelo mesmo espaço ocupado antes.

As embalagens serão feitas de matérias recicláveis para incentivar pessoas que gostam de ajudar o planeta a comprar o produto, lembrando que elas são rigorosamente higienizadas e levam o símbolo de ecológicas na lata.

PASSO 3

Óleo Flui = 3cm/s -> V

V = Δs/Δt

3 = 50/Δt ->Δt = 50/3 = 16,67s

3 = 20/Δt ->Δt = 20/3 = 6,67 s

V = 50-20/16,6-6,6 = 3 cm/s

Passo 4

Aresta da base(lados da base), intaum como sao 4 lados e so multiplica-lo pelo valor da aresta que vai se encontrar a area da base!!

V= 1/3 .Ab .h!! Logo, 1/3 .40 . 50 = 666,67cm aproximadamente

Óleo Flui = 3cm/s -> V

50cm -> 3 s

45cm -> x

X= 2,7cm/s

Relatório

Para a resolução das etapas foi necessario conhecimento ne materias diversas como fisica e geometria!! Algumas com questionamentoo de duvidas mas a resolução correta e a pesquisa de formulas para o melhor aperfeiçoamento!

Etapa 4

Passo 1

Alessandro Alves Ribeiro - 705

Patrick Rafael de Oliveira - 977

Mateus dos Santos Dias - 666

Rui Fernando de Souza - 722

Ricardo Martins Vieira - 552

Lucas Garcia de Oliveira – 053

Total = 3675

P(q) = -0,1q + a

P(1000) = -0,1x(1000) + 3675

P(1000) = - 100 + 3675

P(1000) = 3775

a= [1000 e 2000] = 1000

C(q) = 0,002q³ - 0,6q² + 100q + a

C(1000) = 0,002x(1000)³ - 0,6x(1000)² + 100x(1000) + 3775

C(1000) = 2000000 – 600000 + 100000 + 3775

C(1000) = 1503775

Passo 2

P(800) = -0,1x(800) + 3675 = 3755

P(900) = -0,1x(900) + 3675 = 3765

P(1000) = -0,1x(1000) + 3675 = 3775

P(1100) = -0,1x(1100) + 3675 = 3785

P(1200) = -0,1x(1200) + 3675 = 3795

C(800) = 0,002x(800)³ - 0,6x(800)² + 100x(800) + 3675 = 723675

C(900) = 0,002x(900)³ - 0,6x(900)² + 100x(900) + 3675 = 1065675

C(1000) = 0,002x(1000)³ - 0,6x(1000)² + 100x(1000) + 3675 = 1503675

C(1100) = 0,002x(1100)³ - 0,6x(1100)² + 100x(1100) + 3675 = 2049675

C(1200) = 0,002x(1200)³ - 0,6x(1200)² + 100x(1200) +3675 = 2715675

Passo 3

Cms = C(q)

Q

Cms = 1503675

1000000

Cms = 1503675

Conclusão

Nesta ATS Aprendemos as relações que a matemática tem na física, na musica, as relações harmônicas nas diversas áreas Aprendemos que a constante de Euler-Mascheroni é uma constante matemática com múltiplas utilizações em Teoria dos números. Aprendemos um pouco mais relações as matemáticas com o nosso cotidiano.

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