Equação Numérica

Modelagem Matemática

MODELOS MATEMÁTICOS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS

Os circuitos equivalentes às redes elétricas com as quais trabalhamos consistem basicamente em três componentes lineares passivos: resistores, capacitores e indutores. A Tabela 1 resume os componentes e as relações entre tensão e corrente e entre tensão e carga, sob condições iniciais nulas.

Tabela 1 – Relações tensão-corrente, tensão-carga e impedância para capacitoers, resistores e indutores.

Nota: ν( t ) = V (volts), i( t ) = A (ampères), q( t ) = Q (coulombs), C = F (farads), R = Ω (ohms), G =(mhos), L = H (henries)

Componente Tensão-corrente Corrente-tensão Tensão-carga

Impedância Z(s) = V(s)/I(s)

Admitância Y(s) = I(s)/V(s)

As equações de um circuito elétrico obedecem às leis de Kirchhoff, que estabelecem: • A soma algébrica das diferenças de potencial ao logo de um circuito fechado é igual a zero. • A soma algébrica das correntes em uma junção ou nó é igual a zero.

A partir destas relações podemos escrever as equações diferenciais do circuito. Aplica-se, então, a Transformada de Laplace das equações e finalmente se soluciona a Função de Transferência.

Exemplo:

Obter a função de transferência relacionando a tensão, VC(s), no capacitor à tensão de entrada, V(s), da figura 1.

Figura 1 - Circuito RLC.

Transformadas de Laplace

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Resolução:

Utilizando as leis de Kirchhoff, obteremos a equação diferencial para o circuito. Somando as tensões ao longo da malha, supondo condições iniciais nulas, resulta a equação íntegro-diferencial.

0

1() ( ) ( ) ( ) tdi t L Ri t i d v t dt C ττ + + = ∫

Fazendo uma mudança de variável, de corrente para carga, usando a relação ( ) ( )/ i t dq t dt = resulta:

2

2 1( ) ( ) ( ) ( )d q t dq t L R q t v t dt Cdt + + =

A partir da relação tensão-carga em um capacitor da Tabela 1:

( ) ( ) C q t Cv t =

Substituindo:

2

2 ( ) ( ) ( ) ( )CC C d v t dv t LC RC v t v t dtdt + + =

Aplicando Laplace: ( ) 2 1 ( ) ( ) C LCs RCs V s V s + + =

Calculando a função de transferência, ( )/ ( ) c V s V s:

2

1

1

() () c Vs LC RVs ss L LC = ++

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SISTEMAS MECÂNICOS EM TRANSLAÇÃO

Os sistemas mecânicos obdecem à lei fundamental onde o somatório de todas as forças é igual a zero. Isto é conhecido como lei de Newton e pode ser dito da seguinte forma: a soma das forças aplicadas deve ser igual à soma das forças de reação. Iniciaremos arbitrando um sentido positivo para o movimento, por exemplo, para direita. Usando o sentido escolhido como positivo para o movimento, desenhamos em primeiro lugar um diagrama de corpo livre, posicionando sobre o corpo todas as forças que agem sobre ele no sentido do movimento ou no sentido oposto. Em seguida, utilizamos a lei de Newton para construir a equação diferencial do movimento somando as forças e igualando a soma a zero. Finalmente, supondo as condições iniciais nulas, aplicamos a transformada de Laplace à equação diferencial, sepramos as variáveis e chegamos à função de transferência. A Tabela 2 apresenta os elementos mecânicos comuns em sistemas de translação como suas relações.

Tabela 2 – Relações força-velocidade, força-deslocamento, e impedância de translação de molas, amortecedores e massas.

Componente

Força- velocidade

Força- deslocamento

Impedância Zm(s)=F(s)/X(s)

Mola

Amortecedor viscoso

Massa

Nota: Os seguintes conjuntos de símbolos e unidades são usadas ao longo deste texto: f ( t ) = N (newtons), x( t ) = m (metros), ν( t ) = m/s (metros/segundo), K =N/ m (newtons/metro), f ν = N.s/ m (newton-segundo/ metro), M =kg (quilogramas = newton.segundo2 / metro).

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Exemplo

Obter a função de transferência, X(s)/F(s), para o sistema da figura abaixo:

Resolução:

Desenhando o diagrama de corpo livre para o sistema proposto e arbitrando o sentido do movimento para direta, obtemos:

Utilizando a Lei de Newton escrevemos a equação diferencial do movimento.

2

2 ( ) ( ) ( ) ( )vd x t dx tM f Kx t f t dtdt + + =

Aplicando Laplace,

2

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v v Ms X s f sX s KX s F s Ms f s K X s F s + + = + + = .

Resolvendo para obter a função de transferência,

2 1()

()

() v Xs

Gs

Fs Ms f s k == + +

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