Equações De Primeira Ordem

é crescente, mas com uma tava decrescente e convexa.

Para obter informação mais detalhada sobre a função espessura, precisamos fazer algumas hipóteses. Suponha que y represente a espessura do gelo como função do tempo, t. Como quanto mais espesso é o gelo mais tempo é necessário para que o calor o atravesse, vamos supor que a taxa segundo a qual o gelo se forma seja inversamente proporcional à espessura. Em outras palavras, vamos supor que existe uma contente k tal que:

Taxa de crescimento da espessura= k/Espessura ,

De modo que:

dy/dt = k/y onde k > 0

Esta equação diferencial permite encontrar uma formula para y. Usando separação de variáveis:

∫▒〖y dy= ∫▒〖k dt〗〗

y²/2=kt+C

Se medirmos o tempo de modo que y = 0 quando t = 0, obtemos C = 0. Como y deve ser não negativo, segue que:

y= √2kt .

ASPECTOS TÉCNICOS DO USO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NA MODELAGEM DE SISTEMAS

O principal desafio que se apresenta na modelagem de sistemas em termos de equações diferenciais é formular as equações que descrevem o problema a partir de um conjunto restrito de informações, ou “pistas”, sobre o comportamento geral do sistema. A construção do modelo envolve uma percepção da situação real em linguagem matemática. Para que o modelo seja uma boa representação da realidade, é de fundamental importância enunciar de maneira precisa os princípios que governam o sistema de interesse.

Ora, como cada sistema possui um conjunto de variáveis e interações características, os modelos propostos aparecem nas mais diversas formas, não havendo uma lista de regras gerais para a representação de determinado sistema ou processo. Apesar disso, segundo Boyce e DiPrima (2012) [2], existem alguns passos que, frequentemente, fazem parte do processo de modelagem: Identificação das variáveis que caracterizam o sistema, definição das unidades de medida das variáveis, determinação das leis (teóricas ou empíricas) que regem as relações entre as variáveis e a dinâmica do sistemas e Expressar as leis em termos das variáveis identificadas.

Uma vez definido o conjunto de equações diferenciais que descrevem a dinâmica do sistema, é necessário resolver as equações, ou seja, encontrar suas soluções. Algumas equações diferenciais possuem soluções analíticas, isto é, podem ser resolvidas “a mão”. Porém, em muitos casos, a complexidade dos sistemas modelados implica em equações complicadas, impossíveis de resolver analiticamente. Nesses casos, é necessário lançar mão de técnicas computacionais (numéricas) para a solução do problema. Alguns dos softwares mais usados na solução computacional de equações diferenciais são o Maple e o Mathematica, ferramentas que executam algoritmos de aproximação numérica. Estes softwares também são úteis na interpretação e representação gráfica das soluções obtidas, possibilitando um entendimento da solução bem mais claro do que o extraído de tabelas numéricas ou fórmulas analíticas complicadas. Abordagens