Equações Diferenciais

1. - Etapa 1

1.1-Passo 1

Pesquisar e estudar sobre a modelagem de sistemas por meio de equações diferenciais em sistemas físicos e problemas de engenharia.

A modelagem matemática é a área do conhecimento que estuda a simulação de sistemas reais a fim de prever o comportamento dos mesmos, sendo empregada em diversos campos de estudo, como física, química, biologia, economia e engenharia. Modelagem matemática consiste na Arte de se descrever matematicamente um fenômeno.

A modelagem de um fenômeno via equações diferenciais, é normalmente feita da seguinte forma: através da simples observação conseguem-se informações sobre as taxas de variação do fenômeno (que do ponto de vista matemático são derivadas), escreve-se a equação que relaciona as taxas de variação e a função, isto é, a equação diferencial associada e, a partir da solução desta equação tem-se uma possível descrição do fenômeno.

1.2- Passo 2

Revisar os conteúdos sobre diferencial de uma função e sobre as técnicas de integração de funções de uma variável. Utilizar como bibliografia o Livro-Texto da disciplina (identificado ao final da ATPS).

A integração é um processo que demanda certa habilidade e técnica, ele provê um meio indispensável para análises de cálculos diversos, além disso, o meio de integrar certas funções deve ser exercitado até que sejamos capazes de absorver a sua essência. O problema da integração deve ser visto como uma análise que pode conduzir a resultados algébricos diversos, quando tomadas técnicas diversas, que concordam, porém, em resultado numérico.

Método de conjecturar e verificar

Uma boa estratégia para se encontrar primitivas simples é fazer uma conjectura de qual deve ser a resposta e depois verificar sua resposta derivando-a. Se obtivermos o resultado esperado, acabou. O método de conjecturar e verificar são útil na inversão da regra da cadeia.

Método por substituição

Quando o integrado e complicado utilizamos essa técnica para formalizar o método de conjeturar e verificar da seguinte maneira

Dw = w´(x) dx = (dw/dx) dx

No método de substituição parece que tratamos dw e dx como entidades separadas, até cancelando-as da equação dw= (dw/dx)dx.

Método Por partes

A técnica de integração por partes consiste da utilização do conceito de diferencial inversa aplicado à fórmula da regra da diferencial do produto, ou seja:

1.3 - Passo 3

Estudar o método de resolução de equações diferenciais lineares de variáveis separáveis e de primeira ordem. Utilizar como bibliografia o Livro-Texto da disciplina (identificado ao final da ATPS).

Equações diferenciais lineares de variáveis separáveis:

A equação diferencial M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0 será de variáveis separáveis se:

- M e N forem funções de apenas uma variável ou constantes.

- M e N forem produtos de fatores de uma só variável.

Isto é, se a equação diferencial puder ser colocada na forma P(x)dx + Q(y)dy = 0, a equação é chamada equação diferencial de variáveis separáveis.

Uma equação diferencial de variável separada é uma equação do tipo:

g(y) dy = f(x)dx

A solução geral da equação diferencial de variável separada obtém-se por primitivação de ambos os membros da equação, ou seja,

∫g(y)dy = ∫f(x)dx+C.

Chama-se equação de variáveis separáveis uma equação do tipo:

F1 (x)h1 (y)dx = f2(x)h2 (y)dy

Na qual o coeficiente associado a cada diferencial se pode fatorizar em funções, dependentes só de x ou só de y.

Dividindo ambos os membros pelo produto f2(x)h1(y) a equação fica com as variáveis separadas:

=

E o integral geral dessa equação tem a forma

ʃ = ʃ +C

Equações diferenciais lineares de 1ª ordem:

Chama-se equação diferencial linear de 1ªordem a uma equação da forma

y'+P(x)y =Q(x) onde P e Q são funções contínuas de x num certo domínio D ⊂ IR.

É usual designar por equação completa aquela em que Q(x) ≠ 0enquanto que a equação se chama homogênea, se Q(x)= 0

A resolução destas equações pode enquadrar-se da seguinte forma:

Se Q(x)= 0, a equação é de variáveis separáveis.

Se Q(x)≠0,a equação admite um fator integrante função sóde x, I(x, y)= e ∫P(x) dx

Como resolver uma Equação diferencial linear de 1ª ordem:

Determinar o fator integrante I (x, y) = e ∫P(x) dx

Multiplicar a equação diferencial por este fator integrante, isto é

e∫P(x) dx (y’+ P(x)y)= e ∫P(x) dxQ(x)

Note que o primeiro membro da equação acima é igual a

(ye∫P(x)dx)

Integrar ambos os membros em ordem a x, ou seja,

ye∫P(x)dx= ∫ Q( x) e ∫P(x) dxdx

1.4 - Passo 4

Modelagem de circuitos elétricos por meio de equações diferenciais

Os circuitos elétricos são basicamente formados por componente lineares passivos: resistores de resistência R(ohm) indutores de indutância L(Henry), capacitores de capacitância C(farad) e uma fonte elétrica cuja diferença de potencial é indicada pela letra v(t)

Para modelar um sistema elétrico precisamos conhecer os seus componentes elétricos passivos.

Relação elementar de voltagem:

Resistor (Lei de Ohm)

eA – eB = R iR

Indutor

eA – eB = L

Capacitor

eA – eB =

L: Indutância, R: Resistência, C: Capacitância

A modelagem matemática de um sistema elétrico simples é feita aplicando-se as Leis de Kirchhoff: a Lei dos Nós e/ou a Lei das Malhas

Modelagem Matemática pelo Método dos Nós.

Aplica-se a Lei dos Nós a cada nó do circuito elétrico:

A soma das correntes que entram em um nó de um circuito elétrico é igual àsoma das correntes que saem do mesmo nó

Modelagem Matemática pelo Método das Malhas.

Aplica-se a Lei das Malhas a cada malha do circuito elétrico:

A soma das quedas de voltagem em uma malha de um circuito elétrico é igual à soma das voltagens que são introduzidas na mesma malha.

2. - ETAPA 2

(tempo para realização: 05 horas)

Aulas-tema: Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior.

Esta atividade é importante para você compreender quais são os princípios físicos

Desenvolvidos na construção de uma equação diferencial, e consolidar as técnicas de modelagem de problemas de engenharia por meio de equações diferenciais de ordem superior.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

2.1-PASSO1

Escolher um dispositivo cujo circuito elétrico será estudado. Por exemplo: (Filtros RC, Fontes DC). Identificar os elementos desse circuito e determinar a função de cada elemento no referido circuito.

RESPOSTA:

CIRCUITO RC EM SÉRIE

Considere um circuito RC em série, onde o capacitor, no qual a corrente varia com o tempo, esta inicialmente descarregada e que a corrente não flui quando a chave esta aberta:

Se a chave for fechada em t=0, a carga começa a fluir criando uma corrente no circuito, fazendo com que o capacitor seja carregado:

Gerador de tensão continua - ( a ) Aspecto físico ( b ) Símbolo e ( c ) gráfico da tensão em função do tempo .

2.2-PASSO2

Transformar, se possível, o circuito elétrico escolhido em um circuito equivalente, observando, para isso, as associações em série ou em paralelo de seus elementos (resistores e capacitores, por exemplo).

RESPOSTA: NÃO FOI POSSÍVEL TRANSFORMAR.

2.3-PASSO3

Representar o circuito elétrico (ou o circuito equivalente) escolhido em um diagrama, com base na simbologia dos elementos elétricos.

Sites sugeridos para pesquisa • Símbolos para circuitos elétricos. Disponível em:

. Acesso em: 30 maio 2013. • Simbologia: Eletrônica. Disponível em:

. Acesso em: 30 maio 2013.

RESPOSTA: Diagrama Fatorial (DF)

2.4-PASSO4

Modelar o circuito elétrico observando as técnicas de equações diferenciais, detalhando cada etapa da modelagem.

RESPOSTA:

A equação que descreve o circuito para t > 0 é

derivando a equação em t, temos: cuja solução é da forma.