Equações Diferênciais

Equações diferenciais são ferramentas matemáticas usadas para calcular a evolução de sistemas. O objetivo da modelagem é encontrar a taxa de variação com o tempo das grandezas que caracterizam o problema, ou seja, a dinâmica temporal do sistema de interesse. Resolvendo a equação diferencial (ou sistema de equações diferenciais) que caracteriza determinado processo ou sistema, pode-se extrair informações relevantes sobre os mesmos e, possivelmente, prever o seu comportamento.

As equações diferenciais ordinárias (EDOs) modelam vários fenômenos físicos do nosso cotidiano, tanto no campo da engenharia como das ciências físicas e sociais, o que justifica o estudo destes tipos de equações.

Aplicações das Equações Diferenciais

Problemas de crescimento e decrescimento

Seja N(t) a quantidade de uma substância (ou população) sujeita a um processo de crescimento

ou decrescimento. Admitamos que a taxa de variação da quantidade de substância é proporci-onal à quantidade de substância presente. Então, entre os instantes t e t + ¢ t dá-se a variação

seguinte da quantidade em questão:

N(t + Δt) = N(t) + kN(ξ)Δ t ; (1)

onde k é a constante de proporcionalidade e ξ ∈ [ t; t + Δt ] é um instante de referência. Fazendo Δt → 0, implica que ξ → t é, de (1), obtemos a equação diferencial seguinte:

dN = kN : (2)

dt

Admitimos que N(t) é uma função derivável e, por consequência, contínua no tempo. Nos

problemas relativos ao estudo de populações, a função N (t) é, na realidade, discreta. Não obstante, (2) dá uma boa aproximação para as leis que regem tais problemas.

Exemplo (1) Sabe-se que a quantidade de uma substância radioativa diminui a uma taxa proporcional à quantidade de material existente. A quantidade inicial é N0. Verifica-se que,

após duas horas, se perderam 10% da massa original. Determine:

a) a expressão para a massa da substância restante num instante de tempo arbitrário;

b) a massa restante após 4 horas;

c) o tempo necessário para que a massa inicial que reduzida a metade.

Resolução:

a) Seja N(t) a quantidade de substância presente no instante t horas e N0 a quantidade de substância inicial. Então a solução da equação (2) tem a forma:

N(t) = N0ekt: (3)

Quando t = 2 horas, já se perderam 10%, i.e.,

N(2) = 0,9N0 = N0e2k:

Daqui, sai que: 1

2k = ln 0; 9; k = ln 0,9 < 0:

2

b) Calculamos o valor N(4) usando (3).

N(4) = N0e4k:

c) Calculamos o valor do tempo t1, em que:

N(t1) = N0ekt1 = 1 N0:

2

Resolvendo a equação em relação t1, temos:

t1 = 1 ln 1 :

k 2

Técnicas de Derivação

1. Derivada de uma função do 1.º grau

A derivada de uma função do 1.° grau é igual ao coeficiente de x.

f(x) = ax + b →f’(x) = a

2. Derivada da função potência

A derivada de uma função potência de x, de expoente genérico “n", é verificada pela definição de derivadas e pelo binômio de Newton.

f(x) = xn→ f’(x) = n . xn-1

3. Derivada do produto de função por uma constante

A derivada do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela derivada da função.

g(x) = K . f(x) →g(x) = K . f (x)

4. Derivada da soma de funções

A derivada de uma soma de unções é igual à soma das derivadas dessas funções.

f(x) = u(x) + v(x)→ f(x) = u(x) + v(x)

5. Derivada da função potência

Sendo u uma função real de x, e sendo n um número real, então a derivada da função y = un é dada por:

y = un→ y’ = n . un-1 . u’ onde u’ é a derivada de u em relação a x.

6. Derivada do produto de funções

Sendo u e v funções de x, a derivada do produto de duas funções é igual à soma dos produtos de uma das funções pela derivada da outra.

y = u . v →y = uv + uv

onde u e v são as derivadas de u e v, respectivamente, em relação a x.

7. Derivada do quociente de funções

Sendo u e v funções reais de x, a derivada do quociente destas funções é dada pela relação:

onde u’ e v’ são as derivadas de u e v, respectivamente, em relação a x.

8. Derivada da função exponencial

Sendo “a” um número real ( a > 0 e