Equcação Linear

2.Equação linear

Suponha que, num certo clube social, haverá uma eleição, e todos os 2430 associados votantes comparecerão a urna de votação. Considerando as quantidades x1, x2 e x3 de votos brancos, nulos e validos, respectivamente, teremos x1 + x2 + x3 = 2430.

A toda expressão desse tipo, na qual as incógnitas tem, todas, expoente igual a 1, dá-se o nome de equação linear. Assim:

Uma equação linear é toda igualdade do tipo a11x1 + a12x2 + a1nxn =b1 sendo que:

X1, x2 e x3, xn são incógnitas, cujos os expoentes são necessariamente unitários (1º grau);

A11, a12, a13, ..., a1n são os coeficientes das incógnitas;

B1 é o termo independente.

Exemplos:

X1 - 3x2 = 3 ( duas incógnitas)

2x¹ + 3x2 + x3 = 4 ( três incógnitas )

X + y + z + w + t = 0 (quatro incógnitas)

3. Solução de uma equação linear.

No exemplo da eleição citado no item 2, se forem contados 300 votos brancos e 250 nulos, então 1880 votos serão validos, pois: 300 + 250 + 1880 = 2430.

Assim, a seqüência de valores (300, 250, 1880) é uma das possíveis soluções da equação linear x1, + x2 + x3 = 2430.

Poderíamos ter outras situações, como:

100 brancos, 0 nulos, 2330 validos, representada pela seqüência (100, 0, 2330);

530 brancos, 12 nulos, 1880 validos, representada pela seqüência (530, 12, 1880).

A essas seqüências ordenadas dos valores das incógnitas, dá-se o nome de solução da equação linear.

Particularmente, temo que:

Equação do tipo 0 x1, +0 x2 + 0x3 , +..., 0xn = 0 admitem quaisquer seqüência ( x1, x2, x3, ..., xn) como solução (equação indiferente).

Equação do tipo 0 x¹1 +0 x2 + 0x3 , +..., 0xn = b, com b=0, não admitem solução (equação impossível).

4. Sistema linear.

É qualquer conjunto de m equações lineares simultâneas com n incógnitas.

Particularmente, se um sistema linear tem quantidade de equações (m) igual à quantidade de incógnitas (n), ele é chamado de sistema normal.

Nessas condições, um sistema linear pode ser representado, genericamente, como segue:

A11x1 + a12x² + a13x3 +.....+...+ a1nxn = b1

A21x1 + a22x2 + a23x3 + ...+ a2nxn = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 + ...+ a3nxn = b³3

..............................................................

am1x1 + am2x2 + am3x3 + ...+ amnxn = bm

Exemplos:

X1 + x2 = 3

X1 - x2 = 6 (nestas duas equações há duas incógnitas).

2x + y – z = 2

X -2y + z =4 (nestas duas equações há três incógnitas).

X + 2y + 0

2x – y = 3

4x + 2y = 6 (nestas três equações há duas incógnitas).

5. Forma matriarcal.

Todo sistema linear com m equações e n incógnitas pode ser representado na forma matricial:

Am x n . Xn x1= Bm x 1, sendo:

Am x n a matriz dos coeficientes;

Xn x 1 a matriz das incógnitas;

Bm x 1 a matriz dos termos independentes.

Assim, para o sistema:

A11x1 + a12x2 + a13x3 + ...+ a1nxn = b1

A21x1 + a22x2 + a23x3 + ...+ a2nxn = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 + ...+ a3nxn = b³3

..............................................................

am¹x¹ + am²x² + am³x³ + ...+ amnxn = bm

Temos a forma matricial:

A11 a12 a13 ... a1n x1 b 1

A21 a22 a23 ... a2n x2 b2

a³31 a23 a33 ... a3n x3 b3

am1 am2 am3 ... amn xm bm

exemplos:

3x¹ + x2 = 4 3 1 x1 b1

X1 – x2 = 6 1 -1 x2 b2

X + y +2z = 2 1 1 2 x

3x – 2y = 1 3 -2 0 y = 2

Z 1

6.Solução de um sistema linear.

Uma seqüência (k1, k 2, k3, ..., kn) é solução de um sistema linear se, e somente se, for soluço de todas as equações que formam esse sistema.

Exemplos:

2x + y = 4

X + y

(4, -4)é solução, pois 2(4)+(-4) = 4

4 + (-4) = 0

X + y + z = 3

X –y + 2z = 2

(1, 1, 1)é solução, pois 1 + 1 + 1 = 3