Fisica III

Etapa 3: Trabalho e Energia

Essa etapa é importante para aprender a calcular a energia de um sistema de partículas e a aplicar o teorema do trabalho e energia cinética a esse sistema, além da aplicação de um modelo.

Passo 1

Determinar (usando a equação clássica Ec = 0,5mv2) quais são os valores de energia cinética

Ec de cada próton de um feixe acelerado no LHC, na situação em que os prótons viajam às

velocidades: V1 = 6,00 J * 107 m/s (20% da velocidade da luz), V2 = 1,50 J * 108 m/s (50% da

velocidade da luz) ou V3 = 2,97 J * 108 m/s (99% da velocidade da luz).

Massa do próton (mp) = 1,67 * 10-27 kg

Dados

Mp = 1,67 * 10-27 kg

V1 = 6,00 * 107m/s

V2 = 1,50 * 108m/s

V3 = 2,97 * 108m/s

Formula:

Ec = 0,5 mv2

Resolução 01:

Ec1 = 0,5 * 1,67 * 10–27 * (6,00 * 107)2

Ec1 = 8,35 * 10–28 * 3,6 * 1015

Ec1 = 3,01 * 10-12 J

V1 = 6,00 x 107m/s: Ec1 = 3,01 * 10-12 J

Resolução 02:

Ec2 = 0,5 * 1,67 * 10-27 * (1,50 * 108)2

Ec2 = 8,35 * 10-28 * 2,25 * 1016

Ec2 = 1,88 * 10-11 J

V2 = 1,50 * 108 m/s: Ec2 = 1,88 * 10-11 J

Resolução 03:

Ec3 = 0,5 * 1,67 * 10-27 * (2,97 * 108)2

Ec3 = 8,35 * 10-28 * 8,82 * 1016

Ec3 = 7,36 * 10-11 J

V3 = 2,97 * 108 m/s: Ec3 = 7,36 * 10-11 J

Passo 2

Sabendo que para os valores de velocidade do Passo 1, o cálculo relativístico da energia cinética nos dá: Ec1 = 3,10 x 10-12 J, Ec2 = 2,32 x 10-11 J e Ec3 = 9,14 x 10-10 J, respectivamente; determinar qual é o erro percentual da aproximação clássica no cálculo da energia cinética em cada um dos três casos. O que se pode concluir?

Fórmula:

Erro (%) = | Ec Clássica – Ec Relativística | * 100

Ec Relativística

Dados:

Ec Clássica

Ec1 = 3,01 * 10-12J

Ec2 = 1,88 * 10-11J

Ec3 = 7,36 * 10-11J

Ec Relativística

Ec1 = 3,10 * 10-12J

Ec2 = 2,32 * 10-11J

Ec3 = 9,14 * 10-10J

Resolução:

Ec1

Erro (%) = | 3,01 * 10-12 - 3,10 * 10-12 | * 100

3,10 * 10-12

Erro (%) = | -2,90322580645 | => 2,90322580645

Erro (%) = 2,9%

Ec2

Erro (%) = | 1,88 * 10-11 – 2,32 * 10-11 | * 100

2,32 * 10-11

Erro (%) = | -18,9655172414| => 18,9655172414

Erro (%) = 18,96 %

Ec3

Erro (%) = | 7,36 * 10-11 - 9,14 * 10-10 | * 100

9,14 * 10-10

Erro (%) = | -9,1947483588 | => 9,1947483588

Erro (%) = 9,2 %

Respostas:

Os valores dos erros percentuais dos cálculos relativísticos da energia cinética em relação ao cálculo clássico foram:

• Energia cinética com velocidade V1 = 6,00 * 107 m/s: Erro (%) = 2,9%

• Energia cinética com velocidade V2 = 1,50 * 108 m/s: Erro (%) = 18,96%

• Energia cinética com velocidade V3 = 2,97 * 108 m/s : Erro (%) = 9,2%

A Energia Cinética Ec é a energia que está relacionada com o estado de movimento de um corpo. Este tipo de energia é uma grandeza escalar que depende da massa e do módulo da velocidade do corpo em questão. Quanto maior o módulo da velocidade do corpo, maior é a energia cinética. Quando o corpo está em repouso, ou seja, o módulo da velocidade é nulo, a energia cinética é nula. Podemos concluir que o erro percentual do cálculo da energia cinética clássica com relação com a energia cinética relativística demonstra que quando um corpo qualquer, como o caso da partícula, o próton, se aproxima da velocidade da luz, o erro tende a aumentar. Isso quer dizer que a partir do momento que a partícula se aproxima da velocidade da luz, a diferença da energia cinética irá aumentar.

Passo 3

Considerando uma força elétrica Fe = 1,00 N (sobre os 1 x 1015 prótons do feixe), determinar qual é o trabalho realizado por essa força sobre cada próton do feixe, durante uma volta no anel acelerador, que possui 27 km de comprimento.

Fórmula: Dados:

W = F.d Fe = 1,00N

W = trabalho (J) N = 1 * 1015 prótons

F = força (N) D = 27 km ou 27 * 103 m

d = deslocamento (m)

Resolução:

Wt = 1,00 * 27 * 103

Wt = 27 * 103 J

O trabalho realizado em cada próton:

27 * 103 J 1 * 1015 prótons

X 1 próton

1 * 1015 x = 27 * 103

X = 27 * 103 - 1 * 1015

X = 27 * 10-12J

Resposta:

O trabalho realizado sobre cada próton é de Wp = 27 * 10-12 J, sendo que no feixe de próton são necessários Wt = 27 * 10-3.

Outra opção do cálculo:

Fe = m * a

a = 1 * 10-12

a ≅ 5,988 * 1011

Fe1 = m1 * a

Fe1 = 1,67 * 10-27 * 5,988 * 1011

Fe1 = 10-15 N

w = F * d

w = 27 * 103 * 10-15

w = 27 * 10-12J

Passo 4

Determinar qual é o trabalho W realizado pela força elétrica aceleradora Fe, para acelerar cada um dos prótons desde uma velocidade igual a 20% da velocidade da luz até 50% da velocidade da luz, considerando os valores clássicos de energia cinética, calculados no Passo 1. Determinar também qual é a potência média total P dos geradores da força elétrica (sobre todos os prótons), se o sistema de geração leva 5 μs para acelerar o feixe de prótons de 20% a 50% da velocidade da luz.

Elaborar um texto, contendo os 4 passos, este deverá ser escrito obedecendo às regras de formatação descritas no item padronização e entregar ao professor responsável em uma data previamente definida.

Formula: Potência:

Teorema da energia cinética P = W∆t

W = Ecf – Eci Dados:

W = trabalho (J) Ec1 = 3,01 * 10-12 J (20%da velocidade da luz)

Ecf = energia cinética final Ec2 = 1,88 * 10-11 J (50% da velocidade da luz)

Eci = energia cinética inicial ∆t=5us

Resolução:

Trabalho realizado pela força elétrica aceleradora

W = 18,8 * 10-12 - 3,01 * 10-12

W=15,79 * 10-12 J

Potência média total dos geradores da força elétrica.

 Potencia em cada próton

P = 15,79 * 10-12 5 * 10-6

P = 3,16 * 10-6 W

 Potencia sobre todos os prótons

Ptotal = 3,16 * 10-6 * 1 * 1015

Ptotal = 3,16 * 109 W

Resposta:

O trabalho realizado pela força elétrica sobre cada próton na aceleração é de:

W = 15,79 * 10-12 J.

A potência média total dos geradores de força elétrica sobre todos os prótons é de:

Ptotal = 3,16 * 109 W

Etapa 4: Conservação do Momento Linear

Passo 1

Nesse e nos próximos passos, iremos trabalhar na condição em que os feixes possuem

velocidades de até 20% da velocidade da luz, para que possamos aplicar os cálculos clássicos

de momento. Determinar a posição do centro de massa do sistema composto por um feixe de

prótons (P) que irá colidir com um feixe de núcleos de chumbo (Pb), no interior do detector

ATLAS, supondo que ambos os feixes se encontram concentrados nas extremidades opostas

de entrada no detector, com uma separação de 46 m entre eles. O feixe de prótons possui

1 J x 1015 prótons, enquanto o de chumbo possui 3J x 1013 núcleos. Lembrar-se de que a massa de cada núcleo de chumbo vale 207 vezes a massa de um próton.

Formula de centro de massa:

Cm = mP *s1 + mPb * s2mP + mPb

Cm = posição centro de massa

mP = massa prótons

mPb = massa núcleos de chumbo

s1 = posição prótons

s2 = posição núcleos de chumbo

Dados:

P=1 * 1015 prótons

Pb=3 * 1013 núcleos

Resolução:

Calculo de massa de prótons

mP = 1 * 1015 * 1,67 * 10-27

mP = 1,67 * 10-12 kg

Calculo de massa de núcleos de chumbo

mPb = 207 * 1,67 * 10-12

mPb = 345,69 * 10-12 kg

Posição do centro de massa do sistema

Cm = 1,67 * 10-12.0 + 345,69 * 10-12 / 461,67 * 10-12 + 345,69 * 10-12

Cm = 15901,74 * 10-12 / 347,36 * 10-12

Cm = 45,78m

Resposta:

Posição do CM = 45,78 m no eixo x.

Passo2

Calcular o vetor momento linear total p de cada feixe, sendo as velocidades escalares vP = 6,00 x 107 m/s e vPb = 5,00 x 107 m/s e em seguida calcular o valor do momento linear total P do sistema de partículas.

Formula:

P = m.v

Dados:

mP = 1,67 * 10-12 kg

mPb = 345,69 * 10-12 kg

vp = 6,00 * 107 m/s

vPb = -5,00 * 107m/s

Resolução:

Cálculo do vetor linear total do feixe dos prótons.

Pp = 1,67 * 10-12 * 6,00 * 107

Pp = 1,00 * 10-5 kgms

Calculo do vetor linear total do feixe dos núcleos de chumbo

Ppb = -345,69 * 10-12 * 5,00 * 107

Ppb = -1,73 * 10-3 kgms

Ppb = 1,73 * 10-3 kgms

.

Calculo do valor do momento linear total P do sistema de partículas

P = Pp + Ppb

P = 1,00 * 10-4 - 17,3 * 10-4

P = -16,3 * 10-4 kgms

P = 16,3 * 10-4 kgms

Resposta:

O vetor do momento linear total de cada feixe é o seguinte:

O valor do momento linear total do feixe de próton é Pp = 1,00 * 10-4 kgms

O valor do momento linear total do feixe do núcleo de chumbo é Ppb = 1,73 x 10-3kgms

O valor do momento linear do sistema é P = 16,3 * 10-4 kgms

Considerações Finais:

No desenvolvimento desta ATPS nós conseguimos aprender e entender de forma mais clara a importância do LHC, e o quanto ele é útil para as pesquisas científicas e nós. Vimos como ele funciona. A partir dessas atividades conseguimos desenvolver melhor o nosso raciocínio lógico e entendemos melhor a física das Leis de Isaac Newton.