Função Exponencial

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

A função f:IR+IR definida por f(x)=logax, com a1 e a>0, é chamada função logarítmica de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR+ (reais positivos, maiores que zero) e o contradomínio é IR (reais).

GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Temos 2 casos a considerar:

 quando a>1;

 quando 0<a<1.

Acompanhe nos exemplos seguintes, a construção do gráfico em cada caso:

1) y=log2x (nesse caso, a=2, logo a>1)

Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:

x 1/4 1/2 1 2 4

y -2 -1 0 1 2

2) y=log(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)

Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:

x 1/4 1/2 1 2 4

y

2 1 0 -1 -2

Nos dois exemplos, podemos observar que

a) o gráfico nunca intercepta o eixo vertical;

b) o gráfico corta o eixo horizontal no ponto (1,0). A raiz da função é x=1;

c) y assume todos os valores reais, portanto o conjunto imagem é Im=IR.

Além disso, podemos estabelecer o seguinte:

a>1 0<a<1

f(x) é crescente e Im=IR

Para quaisquer x1 e x2 do domínio:

x2>x1  y2>y1 (as desigualdades têm mesmo sentido)

f(x) é decrescente e Im=IR

Para quaisquer x1 e x2 do domínio:

x2>x1  y2<y1 (as desigualdades têm sentidos diferentes)

EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS

Chamamos de equações logarítmicas toda equação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos.

Exemplos de equações logarítmicas:

1) log3x =5 (a solução é x=243)

2) log(x2-1) = log 3 (as soluções são x’=-2 e x’’=2)

3) log2(x+3) + log2(x-3) = log27 (a solução é x=4)

4) logx+1(x2-x)=2 (a solução é x=-1/3)

Alguns exemplos resolvidos:

1) log3(x+5) = 2

Resolução: condição de existência: x+5>0 => x>-5

log3(x+5) = 2 => x+5 = 32 => x=9-5 => x=4

Como x=4 satisfaz a condição de existência, então o conjunto solução é S={4}.

2) log2(log4 x) = 1

Resolução: condição de existência: x>0 e log4x>0

log2(log4 x) = 1 ; sabemos que 1 = log2(2), então

log2(log4x) = log2(2) => log4x = 2 => 42 = x => x=16

Como x=16 satisfaz as condições de existência, então o conjunto solução é S={16}.

3) Resolva o sistema:

Resolução: condições de existência: x>0 e y>0

Da primeira equação temos:

log x+log y=7 => log y = 7-log x

Substituindo log y na segunda equação temos:

3.log x – 2.(7-log x)=1 => 3.log x-14+2.log x = 1 => 5.log x = 15 =>

=> log x =3 => x=103

Substituindo x= 103 em log y = 7-log x temos:

log y = 7- log 103 => log y = 7-3 => log y =4 => y=104.

Como essas raízes satisfazem as condições de existência, então o conjunto solução é S={(103;104)}.

INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS

Chamamos de inequações logarítmicas toda inequação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos.

Exemplos de inequações logarítmicas:

1) log2x > 0 (a solução é x>1)

2) log4(x+3)  1 (a solução é –3<x1)

Para resolver inequações logarítmicas, devemos realizar dois passos importantes:

1º) redução dos dois membros da inequação a logaritmos de mesma base;

2º) aplicação da propriedade:

a>1 0<a<1

logam > logan  m>n>0

(as desigualdades têm mesmo sentido) logam > logan  0<m<n

(as desigualdades têm sentidos diferentes)

Alguns exemplos resolvidos:

1) log2(x+2) > log28

Resolução:

Condições de existência: x+2>0, ou seja, x>-2 (S1)

Como a base (2) é maior que 1, temos:

x+2>8 e, daí, x>6 (S2)

O conjunto solução é S= S1  S2 = {x  IR| x>6}.

Portanto a solução final é a intersecção de S1 e S2, como está representado logo