Função Exponencial

Etapa 2

Passo1

Função Exponencial

Conforme explicações do Professor Marcos Noé (Equipe Brasil Escola), a função exponencial possui uma relação de dependência em que uma incógnita depende do valor da outra e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente.

Y=a ͯ

Para formar uma função exponencial a base elevada ao expoente x deve ser >0 e ǂ de 1.

Representação da função em gráfico:

A função exponencial é utilizada na representação de situações em que a taxa de variação é considerada alta, como rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos.

Exemplo

(Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v0 * 2 –0,2t, em que v0 é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12.000,00, determine o valor que ela foi comprada.

Temos que v(10) = 12.000,00 então:

v(10) = v0 * 2 –0,2*10

12000 = v0 * 2 –2

12000 = v0 * 1/4

12000 : 1/ 4 = v0

v0 = 12000 * 4

v0 = 48000

A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48.000,00.

Logaritmos

Na página do colégio web, há a seguinte definição de logaritmo:

Sejam a e b números reais positivos diferentes de 0 e b ǂ de 1.

Na sentença logb a = x, temos:

a é o logaritmo;

b é a base do logaritmo;

x é o logaritmo de a na base b.

Exemplo:

Quando a base não estiver em evidência, fica subentendido que esta vale 10.

Aplicações (por Marcos Noé Pedro da Silva)

Os logaritmos possuem várias aplicações na matemática e em diversas áreas do conhecimento, como física, biologia, medicina, entre outras.

Abaixo exemplos de algumas aplicações.

Exemplo 1 – Matemática Financeira

Uma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00 numa instituição bancária que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3 500,00?

Resolução:

Nos casos envolvendo a determinação do tempo e juros compostos, a utilização das técnicas de logaritmos é imprescindível.

Fórmula para o cálculo dos juros compostos: M = C * (1 + i)t. De acordo com a situação problema, temos:

M (montante) = 3500

C (capital) = 500

i (taxa) = 3,5% = 0,035

t = ?

M = C * (1 + i)t

3500 = 500 * (1 + 0,035)t

3500/500 = 1,035t

1,035t = 7

Aplicando logaritmo

log 1,035t = log 7

t * log 1,035 = log 7 (utilize tecla log da calculadora científica )

t * 0,0149 = 0,8451

t = 0,8451 / 0,0149

t = 56,7

O montante de R$ 3 500,00 será originado após 56 meses de aplicação.

Exemplo 2 – Geografia

Em uma determinada cidade, a taxa de crescimento populacional é de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população desta cidade irá dobrar, se a taxa de crescimento continuar a mesma?

População do ano-base = P0

População após um ano = P0 * (1,03) = P1

População após dois anos = P0 * (1,03)2= P2

População após x anos = P0 * (1,03)x = Px

Vamos supor que a população dobrará em relação ao ano-base após x anos, sendo assim, temos:

Px = 2*P0

P0 * (1,03)x = 2 * P0

1,03x = 2

Aplicando logaritmo

log 1,03x = log 2

x * log 1,03 = log2

x * 0,0128 = 0,3010

x = 0,3010 / 0,0128

x = 23,5

A população dobrará em aproximadamente 23,5 anos.