Geometria Analitica

Cap´ıtulo 1

Conjuntos

1.1 Introduc¸ ˜ao

As teorias estudadas em matem´ atica s˜ao constru´ıdas sempre partindo de alguns fatos considerados

b´asicos. Tais fatos s˜ao chamados axiomas. Os axiomas junto com as definic¸ ˜oes dos

conceitos que a teoria pretende estudar d˜ao lugar, ap´os racioc´ınios l ´ogicos, a resultados chamados

proposic¸ ˜oes. A seq¨uˆencia de conclus˜oes l ´ogicas utilizadas para chegar a um resultado

determinado partindo das definic¸ ˜oes, axiomas e outros resultados, ´e chamada demonstrac¸ ˜ao.

A palavra teorema ´e reservada a proposic¸ ˜oes de car´ ater relevante na teoria em quest˜ao, da

mesma maneira, um lema ´e uma proposic¸ ˜ao que ser´a usada como ferramenta fundamental para

provar outras proposic¸ ˜oes. Os corol ´ arios s˜ao proposic¸ ˜oes que se obtˆem como conseq¨uˆencia direta

de proposic¸ ˜oes e teoremas importantes.

Todo lema, proposic¸ ˜ao, teorema e corol ´ ario, tem um enunciado. Todo enunciado se divide

em duas partes, as hip ´oteses e as teses. A demonstrac¸ ˜ao do resultado (seja um lema, uma

proposic¸ ˜ao, um teorema ou um corol ´ ario) pode ser descrita da seguinte maneira: usar os axiomas,

definic¸ ˜oes e resultados pr ´evios da teoria para chegar `as teses partindo das hip ´oteses por

meio de um racioc´ınio l ´ogico. Isto se resume dizendo que a hip ´otese implica a tese e escreve-se

Hip´otese =) Tese

O s´ımbolo =) significa que partindo da parte da esquerda (Hip´otese) e usando um racioc

´ınio l ´ogico baseado nos axiomas, definic¸ ˜oes e resultados anteriores da teoria, se obt´em

como conseq¨uˆencia o lado direito (Tese).

Por exemplo consideremos o seguinte enunciado:

1

Conjuntos 1.2 Conjuntos

Teorema. (Pit ´agoras) Seja T um tri ˆangulo ret ˆangulo cujos catetos medem a e b respectivamente

e cuja hipotenusa mede c. Ent˜ao a2 + b2 = c2.

A hip´otese diz que a, b e c s˜ao respectivamente os catetos e a hipotenusa de um tri ˆangulo

ret ˆangulo T, e a tese diz que a2 + b2 = c2. Mais tarde no texto veremos uma demonstrac¸ ˜ao do

teorema de Pit ´agoras.

Devemos observar tamb´em a validade das hip´oteses dos nossos resultados, assim como a

veracidade de cada um dos passos l ´ogicos nas demonstrac¸ ˜oes. Veja por exemplo a passagem

de B. Russell citada nas primeiras p´aginas desta apostila, na qual uma hip ´otese falsa d´a origem

a conclus˜oes absurdas.

Em matem´ atica ´e freq ¨uente o uso de quantificadores. Estes s˜ao apenas um simbolismo

que nos permite descrever a abrangˆencia de fatos ou propriedades sobre uma determinada

colec¸ ˜ao de objetos. Temos dois tipos de quantificadores: o quantificador de exist ˆencia, escrito

simbolicamente 9 (leia-se “existe...” ou “existem...”), e o quantificador de universalidade, escrito

8 (leia-se “para todo...”). O quantificador de exist ˆencia ´e algumas vezes usado com o ponto de

exclamac¸ ˜ao 9 ! para indicar que certo objeto existe e ´e o ´unico que possui as propriedades que

o determinam.

1.2 Conjuntos

Neste cap´ıtulo introduziremos algumas noc¸ ˜oes b´asicas da teoria de conjuntos. N˜ao apresentaremos

uma exposic¸ ˜ao axiom´ atica e rigorosa da teoria, mas sim uma exposic¸ ˜ao intuitiva e

simples, incluindo apenas o material e a terminologia que usaremos mais adiante.

Para n´os um conjunto ser´a qualquer colec¸ ˜ao dada de objetos.

Embora esta “definic¸ ˜ao” do termo “conjunto” seja intuitivamente clara, ela n˜ao ´e formalmente

correta, pois a palavra “colec¸ ˜ao” ´e ainda indefinida. Na verdade, a noc¸ ˜ao de conjunto em

matem´ atica ´e uma noc¸ ˜ao indefinida (da mesma maneira que a noc¸ ˜ao de ponto na Geometria

Euclidiana) e ´e necess´ aria uma lista de axiomas para trabalhar com conjuntos e suas propriedades.

Na pr ´ atica, uma introduc¸ ˜ao heur´ıstica, como a que apresentamos a continuac¸ ˜ao, ´e

suficiente.

Os conjuntos ser˜ao designados (salvo menc¸ ˜ao expl´ıcita) por letras mai´usculas, deixando

as min´usculas para designar objetos dos conjuntos. Se a ´e um objeto do conjunto A, dizemos

que a pertence a A, ou que a ´e elemento do conjunto A e escrevemos a 2 A. Se a ´e um objeto

J. Delgado - S. Firmo - P. N´obrega 2 Instituto de Matem´ atica - UFF

Conjuntos 1.2 Conjuntos

que n˜ao pertence ao conjunto A escrevemos a /2 A e dizemos que a n˜ao ´e um elemento do

conjunto A. Se a, b 2 A, a notac¸ ˜ao a = b significa que a e b s˜ao o mesmo elemento de A.

Os conjuntos podem ser descritos de duas maneiras:

A. Escrevendo numa lista os seus elementos, e englobando tal lista entre chaves {. . .}. Por

exemplo,

A = {azul, verde, vermelho, laranja, mac¸ ˜a},