Geometria Plana

Geometria plana : origem e aplicação . Sólidos Geométricos- prisma piramides cone cilindro esfera

Sabe-se que os babilonios, povo que habitava a Mesopotamia, desenvolveram um considerável conhecimento geometrico desde 2000 a.C

Também no Egito aproximadamente 1300 anos a.C. a Geometria era desenvolvida: agrimensores usavam-na para medir terrenos, construtores recorriam a ela para suas

edificações, tanto que as grandes pirâmides próximas ao rio Nilo demonstraram que os egípcios conheciam e sabiam usar muito bem a Geometria.

Por volta de 600 a.C. filósofos e matemáticos gregos entre os quais podemos incluir Tales de Mileto e Pitágoras, passaram a sistematizar os conhecimentos geométricos da época. É voz corrente que a Geometria, antes dos gregos, era puramente experimental, sem que houvesse qualquer cuidado com os princípios matemáticos que regiam os conhecimentos geométricos. Foram então os gregos os primeiros a introduzir O RACIOCÍNIO DEDUTIVO.

Porém foi com o matemático grego Euclides que a Geometria realmente se desenvolveu, fazendo da cidade egípcia de Alexandria, onde vivia Euclides, o centro mundial da Geometria por volta de 300 anos a. C.

Sistematizando os conhecimentos que outros povos antigos haviam adquirido de forma desordenada através do tempo, Euclides deu ordem lógica a esses conhecimentos, estudando a fundo as propriedades das figuras geométricas,as áreas e os volumes.

Para Euclides a Geometria era uma ciência dedutiva cujo desenvolvimento partia de certas hipóteses básicas: OS AXIOMAS ou POSTULADOS. O grande trabalho de Euclides foi reunir 13 volumes, sob o título " ELEMENTOS , " tudo o que se sabia sobre a Geometria em seu tempo. "Elementos " tornou-se um clássico logo após sua publicação .

1 - SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

- Denomina-se sólidos geometricos as figuras geometricas do espaço.

Entre os sólidos geométricos, destacamos, pelo seu interesse, os poliedros e os corpos redondos.

São objetos que lembram poliedros :

tijolo, caixa de fósforo, dado, lápis sextavado, piramides do Egito, um cano, o corpo de um funil, uma bola.

2 = POLIEDROS

- Poliedro é um sólido geométrico limitado por regiões poligonais.

- Os elementos de um poliedro são: faces, arestas, e vértices

- Tipos de poliedros - convexos em relação a qualquer de suas faces, ele está todo situado num mesmo semi-espaço determinado por essa face.

- Quanto ao número de faces temos os seguintes poliedros:

de 4 faces - tetraedro

de 5 faces - pentaedro

de 6 faces - hexaedro

de 8 faces - octaedro

de 20 faces- icosaedro.

- Os poliedros podem se classificar ainda em : regulares e não regulares

Um poliedro diz-se regular quando todas as suas faces são polígonos regulares iguais, e cujos ângulos sólidos são iguais entre sí.

Dentre os polígonos não regulares citaremos o prisma, pirâmide , troncos de prisma e de pírâmides .

LEMA

-Em toda superfície poliédrica convexa aberta, o número de arestas aumentado de um é igual ao número de faces mais o número dos vertices. Isto é : A+1= F+V

A igualdade ( 1) é evidentemente satisfeita para uma superfície poliédrica de uma face, pois, nesse caso, temos um polígono plano.

Então FR=1 e A=V portanto F+V= A+1 ou F+V-A=1

TEOREMA de EULER

- Em todo poliédro convexo , o número de arestas mais dois é igual ao número de faces mais o número de vértices.

Quanto a superfície : As superfícies são classificadas de acôrdo com o seu modo de geração, a qual depende da natureza da geratriz, das suas condições de movimento e do número e da forma da diretriz ou diretrizes em que se apoia a geratriz.

Dentro dessas idéias o matemático francês Monge classificou as superfícies em famílias ao conjunto de superfícies, que possuem a mesma geratriz e a mesma lei de geração, diferindo apenas pela diretriz.

PRISMAS

Prisma é um poliedro convexo em que duas faces são polígonos quaisquer iguais e paralelos chamados bases, e todas as outras faces são paralelogramos, chamados faces laterais.

A soma dessas faces laterais, chama-se superfície lateral do prisma e a soma desta com as duas faces chama-se superfície total do prisma.

CLASSIFICAÇÃO DOS PRISMAS

:

Um prisma diz-se reto ou oblíquo conforme suas arestas laterais sejam ou não perpendiculares as bases.

Em todo prisma reto as bases são secções retas, as faces laterais são retangulos ou quadrados e as arestas laterais são iguais a altura.

Dois prismas retos dizem-se iguais quando possuem as bases e as alturas iguais.

Todo prisma reto cujas bases sejam polígonos regulares chama-se prisma regular.

Um prisma regular não é necessariamente um poliedro regular. Em particular , o cubo é o único prisma regular que é também poliedro regular.

Um prisma denomina-se triangular, quadrangular, pentagonal, hexagonal etc. , conforme suas bases sejam triangulo, quadrado etc.

ÁREA DA SUPERFÍCIE DE UM PRISMA

- Superfície lateral : é formada pelas faces laterais

- ÁREA LATERAL -é a Área da superfície lateral ( Sl)

-Superfície total, é formada pelas bases e pelas faces laterais

- AREA TOTAL - é a área da superfície total ( St )

PIRÂMIDE