Matematica Aplicada

EETAPA 1:

O conceito de derivada.

Estudos das Derivadas ( Conceitos e Aplicações)

No presente capitulo, estudaremos as noções básicas sobre derivadas de funções e algumas de suas aplicações nas áreas da Economia e Administração. A noção de derivada é uma das mais importantes e poderosas ferramentas da matemática.

Para um bom entendimento sobre derivadas necessitamos do conceito de taxa de variação media e também o de conceitos simples importantes e fundamentais para o entendimento das derivadas.

Taxa de Variação Média

Vejamos um exemplo inicial:

Considere a função f(x) = x^2, que define a produção (em tonelada) de uma Empresa X em função do número de horas trabalhadas (x). Vamos supor que o início do expediente, que é representado por X = 0, foi 0:00 horas . Podemos verificar que a produção cresce, proporcionalmente, com o quadro do número de horas trabalhadas, isto é, um intervalo de uma hora, entre 2h e 3h, por exemplo, vai gerar uma produção menor que um intervalo de uma hora, entre 5h e 6h. Veja isso:

Produção da empresa até as 2 horas

→ f(2) – f(0) = 2^2 - 0^2 = 4 toneladas

Produção da Empresa até as 3 horas

→ f(3) – f(0) = 3^2 - 0^2 = 9 toneladas

Aqui verificamos um aumento de produção de 5 toneladas ( 9 – 4 ), em 1 hora, no intervalo de 2 horas as 3 horas.

Produção da Empresa até as 5 horas

→ f(5) – f(0) = 5^2 - 0^2 = 25 toneladas

Produção da Empresa até as 6 horas

→ f(6) – f(0) = 6^2 - 0^2 = 36 toneladas

Aqui verificamos um aumento de produção de 11 toneladas (36 – 25), em 1 hora, intervalo de 5 horas as 6 horas.

O que o exemplo nos mostra? Que, mesmo sendo um intervalo igual (de 1 hora), a variação da produção não foi a mesma. Em linguagem matemática, dizemos que a taxa de variação média da produção, das 2 às 3 horas foi de 5 toneladas/h e que a taxa de variação média da produção, das 5 às 6 horas foi de 11 toneladas/h.

Definição:

Dizemos que a taxa de variação média de uma função y = f(x), no intervalo de a até

b (x variando de a até b) é a razão definida por:

b - a

TV = (f(b) - f(a))/(b-a)

a→b

Esta razão apresentada tem uma representação específica na matemática, que é:

TV = (∆y )/∆x

a→b

2 - TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA

A noção de taxa de variação instantânea está relacionada com a noção de limites de uma função, que estudamos anteriormente. No primeiro exemplo que fizemos neste capítulo encontramos uma taxa de variação média de produção, entre as 2 horas e as 3 horas, e encontramos 5 toneladas/h. E como poderíamos fazer para determinar a taxa de variação EXATAMENTE no instante t = 2 h. O que fazemos normalmente é aproximar os dois pontos (no caso instantes). Por exemplo, poderíamos considerar 2 h e 2:30 ou 2 h e 2:15 ou 2 h e 2:01 ou ainda 2 h e 2 h 5 s. Matematicamente estamos determinando o limite da taxa de variação média, quando o intervalo (_x) tende a zero.

Geometricamente, como a distância entre os pontos está tendendo a zero, a reta que antes era secante à curva agora tende a tornar-se uma tangente à curva no ponto considerado.

Os dois pontos a e b que usamos na taxa de variação média podem ser representados por a e b = a + h. Como desejamos que b se “aproxime” de a, para o cálculo da taxa de variação no ponto a, calculamos o limite da taxa de variação média entre a e a + h, quando h L 0, ou seja:

Taxa de variação instantânea da função y = f(x) no ponto a: lim (f(a+h) - f(a))/h

h→0

Exemplo 1. Obtenha a taxa de variação da função f(x) = 5x2 no ponto x = 2.

Solução: f (2 + h) = 5. (2+〖h)〗^2=5+.(4+4h+h^2) = 20 + 20 h + 〖5 h〗^2

f(2) = 5. 2^2 = 20. Logo, a taxa de variação pedida, será:

lim(f(2+h)-f(2))/h=lim (20+20 h+5h^2)/h=(20 h+5h^2)/h=0/0

h→0 h→0

Recaímos numa forma indeterminada, mas, colocando o h em evidência, teremos:

lim (20 h+5h^2)/h=(h .(20+h))/h=lim⁡ 20+h=20.

h→0 h→0

Como você interpreta o resultado obtido?

A taxa de variação instantânea é também denominada de derivada da função f(x) no ponto considerado.

Notação: É usual representarmos a derivada de uma função y = f(x) num ponto a, por f´(a).

DESENVOLVIMENTO DA REGRA GERAL DE DERIVAÇÃO:

Através das pesquisas realizadas, na busca das aplicações da regra geral de derivação, notei que a função f(x) = 7x solicitada no exercício, esta dentro dos padrões da equação de 1º grau subtipo Linear.

Função de 1° grau

Função de 1º grau - É toda função de IR em IR que pode ser escrita na forma y = ax + b, com a ϵ IR, b ϵ IR e a ≠ 0

Exemplo: y = 2x +3

Podemos substituir a formula y = ax + b por f (x) = ax + b, sabendo que na equação de 1º grau contem o b na forma, na equação de 1º grau subtipo Linear consideramos que b = 0, assim a função linear pode ser escrita na forma y = ax, com a ϵ IR e a ≠ 0 e b=0

Calculando a função f(x) =