Matematica Aplicada

Discutir em grupo e escolher a alternativa correta entre as afirmações abaixo:

a) A taxa de variação média é a inclinação da reta tangente.

b) A taxa de variação média é a inclinação da reta concorrente.

c) A taxa de variação média é a inclinação da reta externa.

d) A taxa de variação média é a inclinação da reta secante.

e) N.D.A

Resolução:

Letra c: NDA

Sabemos que as grandezas variam.

De modo geral, quando uma grandeza y está expressa em função de uma outra x, ou seja, y=f(x), observamos que, para uma dada variação de x, ocorre, em correspondência, uma variação de y, desde que y não seja uma função constante.

Se y=f(x)=x2, e, a partir de x0, supomos uma variação Dx - ou seja, x varia de x0 até x0+Dx - podemos calcular a correspondente variação de y, que denominamos Dy.

O quociente é denominado razão média das variações ou taxa de variação média e normalmente depende do particular ponto x0 e da variação Dx considerada.

Dada uma função y=f(x), definida num intervalo, e de tal modo que y é uma função crescente da variável.

Etapa 2 - Técnicas de derivação

São procedimentos que permitem encontrar de maneira pratica as funções derivadas, ou seja, dada uma função, você aplicara técnicas de derivação para obter de modo rápido a derivada de uma função.

Notamos que, muitas vezes, o processo de determinação da função derivada é trabalhosa e, por isso, é interessante trabalhar com técnicas que permitam a determinação rápida da derivada.

Abaixo serão demonstrados alguns exemplos de cada uma das técnicas de derivação:

Função Constante;

Dada a função f(x) = k, onde k é uma constante; então, sua derivada será f’(x) = 0

De um modo simplificado temos; y = k => y’ = 0 (k é constante).

Dessa forma podemos derivar o seguinte exemplo;

Y = 7

Solução;

Y = 7 => y’ = 0

Função do 1º Grau

Dada a função do 1º grau f(x) = m.x + b, então a derivada será f’(x) = m.

De uma maneira simplificada temos; y = m.x+b => y’ = m

Dessa forma podemos derivar a função abaixo;

F(x) = 3x + 5

Solução:

F(x) = 3x + 5 => f’(x) = 3

Constante Multiplicando Função

Seja a função f(x) obtida pela multiplicação da função u(x) pela constante k.

F(x) = k . u(x), sendo u(x) derivável, então a derivada de f(x) será f’(x)=k . u’(x).

De modo simplificado y = k . u => y’ = k . u’ (k é constante).

Na função y = k . u para a obtenção de y’, a constante k “espera” a determinação de u’. Podemos dizer que a “derivada de uma ‘constante vezes uma função’” é a “constante vezes a ‘derivada da função’”.

Dessa forma podemos usar o exemplo abaixo;

F(x) = 7 . u(x), onde u(x) = 3x + 5, obtenha f’(x).

Solução:

Se f(x) = 7 . u(x), então f’(x) = 7 . u’(x)

Para u(x) = 3x+5, temos u’(x) = 3, assim f(x) = 7 . u’(x) = 7.3=21

Logo, f’(x) = 21

Soma ou diferença de função:

Seja a função f(x) obtida pela soma das funções u(x) e v(x)

F(x) = u(x) + v(x)

Sendo u(x) e v(x) deriváveis; então a derivada de f(x) será f’(x) = u’(x) + v’(x).

De modo simplificado y= u+v => y’=u’+v’

Procedemos de modo análogo para a diferença das funções u(x) e v(x)

F(x) = u(x) – v(x), sendo, u(x) e v(x) deriváveis, então a derivada de f(x) será;

F’(x)=u’(x)-v’(x)

De modo simplificado y=u-v => y’=u’-v’; podemos dizer que a “derivada de uma ‘soma/diferença de função’” é a “soma/diferença das ‘derivadas das funções’”.

Dessa forma podemos derivar o exemplo;

F(x) = u(x) + v(x), onde u(x) = 3x+5 e v(x) = 7x+15, obtenha f’(x).

Solução:

Se f(x) = u(x)+v(x), então f’(x)=u’(x)+v’(x)

Se u(x) = 3x+5, então u’(x)=3 e, se v(x)=7x+15, então v’(x)=7;

Assim, f’(x)=u’(x)+v’(x)=3+7=10

Logo, f’(x) = 10

Potencia de x:

Dada a função f(x)=xⁿ, onde n é um número real, então sua derivada será f(x)=nxⁿ ‾ ¹

De modo simplificado y=xⁿ => y’ = nx ⁿ‾¹ (n é real)

Dessa forma podemos derivar o exemplo:

F(x) = x³

Solução:

F(x) = x³ => f’(x) = 3x³‾¹ => f’(x) = 3x²

Função exponencial

Dada a função exponencial f(x) =a^x, onde a é um número real tal que