Matrizes
Projeto de pesquisa: Matrizes. Pesquise 860.000+ trabalhos acadêmicosPor: • 11/6/2013 • Projeto de pesquisa • 2.292 Palavras (10 Páginas) • 439 Visualizações
Sumario
1. Introdução .................................................................................................................... 3
ETAPA 1º ......................................................................................................................... 4
2. Definição de uma matriz ............................................................................................... 4
3. Apresentação de uma matriz ......................................................................................... 5
4. Tipos de matrizes ........................................................................................................... 6
4.1. Matriz Linha................................................................................................................ 6
4.2. Matriz Coluna ............................................................................................................. 7
4.3. Matriz Quadrada ........................................................................................................ 8
4.3.1. Diagonal principal .................................................................................................... 8
4.3.2. Diagonal Secundária ................................................................................................ 9
4.5. Matriz Nula ou Zero .................................................................................................. 10
5.6. Matriz Identidade ou Unitária ................................................................................. 11
4.7. Matriz Transposta ..................................................................................................... 12
4.8. Matriz Simétrica ....................................................................................................... 13
4.9. Matriz Anti-Simétrica ................................................................................................ 14
4.10. Matriz Triangular Superior ...................................................................................... 15
4.11. Matriz triangular Inferior ........................................................................................ 15
4.12. Matriz Oposta ......................................................................................................... 16
9. Bibliografia ................................................................................................................... 7
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São José dos Campos, 02/06/2011
1. Introdução
Muitas vezes na ciência e na matemática a informação é organizada em linhas e colunas,
formando agrupamentos retangulares chamados matrizes. Podem ser tabelas de dados
numéricos surgidos de observações físicas, mas também ocorrem em vários contextos
matemáticos; contudo, as matrizes não são simplesmente umas ferramentas de noção para
resolver sistemas de equações lineares, elas também podem ser vistas como objetivos
matemáticos de vida própria, existindo uma teoria rica e importante a ela associada que tem
uma grande variedade de aplicações.
Foi apenas em meados do SÉCULOXIX que as matrizes tiveram sua importância detectada e
saíram da sombra dos determinantes. O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Cauchy,
por volta de 1.826. Ele as chamou de tableau (tabela).
O nome Matriz só veio com James Joseph Sylvester, 1.850. Seu amigo Cayley, com sua
famosa Memoir on the theory of Matrices, 1.858, divulgou esse nome e iniciou a demonstrar
sua utilidade. O significado da palavra matriz é: local onde algo se gera ou cria.
Sylvester as via como “um bloco retangular de termos... o que representa um determinante,
mas é como se fosse uma Matriz a partir da qual podemos formar vários sistemas de
determinantes, ao fixar um número p e escolher à vontade p linhas e p colunas...”. Observe
que Sylvester ainda via as matrizes como mero ingrediente dos determinantes. É só com
Cayley que elas passam a ter vida própria, gradativamente, começam a suplantar os
determinantes em importância. A referência mais antiga a matrizes, entretanto, data de
aproximadamente do ano 2.500 a.C., no livro chinês Chui-Chang Suan-Shu (Nove capítulos
sobre a arte matemática). Este livro apresenta problemas sobre a mensuração de terras,
agricultura, impostos, equações, etc. Um destes problemas é resolvido com cálculo efetuado
sobre uma tabela, tais como efetuamos hoje com as matrizes. Atualmente, as matrizes são
muito utilizadas em áreas de conhecimento. Suas aplicações se dão na Matemática, Física,
Engenharia e Computação.
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ETAPA 1º
2. Definição de uma matriz
Uma matriz é uma tabela retangular de números, ou de outro tipo de objetos matemáticos,
dispostos em m linhas (filas horizontais) e n colunas (filas verticais). Dizemos assim que a
matriz possui ordem m x n (lê-se ordem m por n).
Aij _ A = matriz I = elemento linha J = elemento
coluna
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São José dos Campos, 02/06/2011
3. Apresentação de uma matriz
Representamos uma matriz colocando os dados da tabela entre parênteses ou entre colchetes.
Exemplo
A = 1 0 -3 -5 -7 , A é uma matriz de 1 linha e cinco coluna (matriz de ordem 1x5)
1
0
B= -3 , B é uma matriz de 5 linhas e 1 coluna (matriz de ordem 5x1).
-5
-7
-3 4 2 -3
C= 1 0 -7 5 ,C é uma matriz de ordem 3 linhas e 4 colunas ( matriz 3x4).
9 15 -6 -3
1 0 -5
D= 4 4 -3 , D é uma matriz 3 linhas e 3 colunas ( matriz 3x3).
-1 10 0
6
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4. Tipos de matrizes
Definição: Existem matrizes que, por apresentarem características notáveis, merecem destaque.
Vejamos a seguir algumas delas.
4.1. Matriz Linha
Definição: Recebe o nome de Matriz linha toda matriz que possui apenas uma linha. O número de
colunas é independente.
Exemplo
A = [a11 a12... an], matriz de ordem 1x n
B = [-5 1 2], é uma matriz de ordem 1 x 3
C = [4 -6 7 -9], é uma matriz de ordem 1 x 4
7
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4.2. Matriz Coluna
Definição: Recebe o nome de Matriz coluna toda matriz que possuir apenas uma coluna. O número de
linhas é independente.
a11
A = a21 , matriz de ordem m x1
:
am
Exemplo
2
B = -6 , é uma matriz de ordem 4 x1.
0
-1
8
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4.3. Matriz Quadrada
Definição: É toda matriz que o mesmo número de linhas é o de colunas.
a11 a12 ... a1n
A = a21 a22 ... a2n
: : ... :
an1 an2 ... an3
Nota 1. A ordem da matriz quadrática é n x n ou, simplesmente, n.
4.3.1. Diagonal principal
NumaNuma matriz quadrada A= [aij] de ordem n, os elementos aij, em que i-j, constitui a diagonal principal.
Assim, em 1.1, os elementos a11, a22, a33,...., ann constituem a diagonal principal.
Nota 2. Seja A=[aij] n x n uma matriz quadrada de ordem n.Denomina-se traço da matriz A, a soma
a11+a22+a33+.....+ann dos elementos da diagonal principal de A,o qual indicamos por TR (A). Desse
modo temos:
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4.3.2. Diagonal Secundária
Definição: Numa matriz quadrada A= [aij] de ordem n, os elementos aij, em que i+j = n+1, constituem a
diagonal secundária da matriz.
Assim em 1.1, os elementos a1n, a2n-1, a3n-2,..., an1 constituem a diagonal secundária.
Exemplo
8 9 -1
A matriz M = 6 4 -5
-2 2 2
É quadrada de ordem 3. Sua diagonal principal é {8,4,2} e sua diagonal secundária é {-1,4,2}. O traço da
matriz M é dado por TR(M) =8+4+2=14.
Definição: Será uma matriz diagonal, toda matriz quadrada A = [aij], de ordem n e que tem os elementos
aij = 0, quando i diferente de j, é chamada matriz diagonal, ou seja, é toda matriz quadrada em que os
elementos que não pertencem a diagonal principal são iguais à zero.
Exemplo
a11 a12 ... a1n
A = a21 a22 ... a2n
: : ... :
an1 an2 ... an3
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4.5. Matriz Nula ou Zero
Definição: Recebe o nome de Matriz nula toda matriz que independentemente do número de linhas e
colunas todos os seus elementos são iguais à zero.
Exemplo
A = 0 0 0 , é uma matriz de ordem 3 x 3.
0 0 0
B = 0 0 0 , é uma matriz de ordem 2 x 3
0 0 0
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5.6. Matriz Identidade ou Unitária
Definição: Para que uma matriz seja matriz identidade ela tem que ser quadrada e os elementos que
pertencerem à diagonal principal devem ser iguais a 1, ou seja onde i=j, e o restante dos elementos iguais
a zero.
Indica-se a matriz identidade de ordem n por In ou simplesmente por I.
Exemplo
I2 = 1 0 , é a matriz identidade de ordem 2.
0 1
1 0 0
I3 = 0 1 0 , é a matriz identidade de ordem 3.
0 0 1
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4.7. Matriz Transposta
Definição: Chama-se transposta de A = [aij]m x n a matriz At = [a’ji]n x m tal que a’ji = aij, para todo i
e todo j, ou seja, a transposta de A é a matriz obtida de A, trocando-se, “ordenadamente”, suas linhas por
colunas (ou, suas colunas por linhas).
Indica-se matriz transposta de A por At.
Exemplo
A = a b _ At = a c
c d b d
3
B = [ 3 -2 -1 7 ] _ Bt = -2
-1
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4.8. Matriz Simétrica
Definição: Uma matriz quadrada A = [aij] n x n é dita simétrica se aij = aji.
Nota 3. Observe que:
(a) A é simétrica se At = A;
(b) No caso de uma matriz simétrica, a parte superior é uma “reflexão” da parte inferior, em relação à
diagonal principal.
Exemplo
São simétricas as matrizes
A = a b B = 4 3 -1 C = a b c d
c d 3 2 0 b e f g
-1 0 5 c f h i
d g i j
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4.9. Matriz Anti-Simétrica
Definição: Uma matriz quadrada A = [aij]n x n diz-se anti-semétrica quando aij = - aij, para todo i, j
elementos {1, 2, 3,..., n}.
Assim
I. Os elementos da diagonal principal são todos nulos;
J. Os elementos simétricos dispostos em relação à diagonal principal são opostos.
Nota 4. Observe que a matriz quadrada A é anti-simétrica de ordem n se, e somente se,
At = - A
Exemplo
A = 0 a B = 0 -3 1 C = 0 -b c -d
-a 0 3 0 -7 b 0 -f g
-1 7 0 -c f 0 -1
d -g i 0
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4.10. Matriz Triangular Superior
Definição: A matriz quadrada A = [aij] n x n’ que tem os elementos aij = 0. Para i > j, é chamada de
triangular superior, ou seja, quando todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos.
Exemplo
1 -3 1
A = 0 4 -7
0 0 7
4.11. Matriz triangular Inferior
Definição: A matriz quadrada A = [aij]n x n’ que tem os elementos aij = 0, para i < j, é chamada de
triangular inferior, ou seja, quando todos os elementos acima da diagonal principal são nulos.
Exemplo
A = 1 0 0
3 -1 0
4 2 7
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4.12. Matriz Oposta
Definição: Sabemos que, para encontrar a matriz oposta de uma matriz qualquer basta trocar os
sinais dos elementos.
Exemplo
50 -11 -50 11
B = -63 7 _ - B = 63 -7
-8 10 8 -10
É uma matriz oposta da ordem 2 x 3.
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Etapa 2º
5. Matrizes e Determinantes
Com o PLT de Álgebra Linear no capitulo de Determinante na pág. 268 a 309.
O livro mostra o conteúdo com outras palavras, totalmente diferentes do da sala de aula.
Com uma linguagem de certo modo mais complicada, a mesma coisa, mas com outras palavras. È mais
fácil estudar pelos slides apresentado em sala de aula e disponibilizado pelo professor.
O Determinante de uma Matriz é um número relacionado a uma matriz quadrada, é a soma
algébrica dos produtos que se obtêm efetuando todas as permutações dos segundos índices do termo
principal, fixados os primeiros índices, e fazendo-se proceder aos produtos do sinal + ou -, conforme a
permutação dos segundos índices seja de classe par ou impar.
Representação:
Det. A= |A| onde A= [ij]n
5.1 Calculo de Determinante de Segunda Ordem (2x2)
Det. A= a11 a12 = a11 * a22 – a12 * 21 Obs.: = + e = -
a21 a22
Exemplos
Det. A = 5 3 = 5*5 – 3*4= 25 – 12= 17
4 5
DDet. A= 8 5 = 8*4 – 5*7= 32 – 35= -3
7 4
5.2 Calculo de Determinante de Terceira Ordem (3x3)
a11 a12 a13 a11 a12 D1= a11 * a22 * a33
Det. A= a21 a22 a23 a21 a22 D2= a12 * a23 * a31
a31 a32 a33 a31 a32
Det. A= D1 + D2 + D3 - (d1 + d2 + d3) Obs.: = + e = -
Exemplos
5 7 0 5 7 = D1 + D2 + D3 – (d1 + d2 + d3)
Det. A= 4 8 9 4 8 = 5*8*2 + 7*9*3 + 0*4*0 – (0*8*3 + 5*9*0 + 7*4*2)
3 0 2 3 0 =80 +189 + 0 – (0 + 0 + 56)= 269 – 56= 213
1 2 3 1 2 = D1 + D2 + D3 – (d1 + d2 + d3)
Det. A= 4 5 6 4 5 = 1*5*9 + 2*6*7 + 3*4*8 – (3*5*7 + 1*6*8 + 2*4*9)
7 8 9 7 8 =45 + 84 + 96 – (105 + 48 + 72)= 225 – 225= 0
-1 2 -3 -1 2 = D1 + D2 + D3 – (d1 + d2 + d3)
Det. A= 4 0 6 4 0 = (-1)*0*9 + 2*6*7 + (-3)*4*8 – (3*0*7 + (-1)*6*(-8) + 2*4*9)
7 8 9 7 8 =0 + 84 - 96 – (0 + 48 + 72)= 84 – 96 – 120= - 132
d1 d2 d3
D1
D2 D1
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
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t
t t
5.3 Principais Propriedades de Determinantes
Det. A = Det. A
Exemplo
Det. A= 5 2 Det. A = 5*3 – 2*4= 15 – 8 = 7
4 3
Det. A = 5 4 Det. A = 5*3 – 4*2= 15 – 8= 7
2 3
Det. I = 1
Exemplo
Det. I= 1 0 Det. I = 1*1 – 0*0= 1 – 0= 1
0 1
Se a matriz possui uma linha ou coluna com todos os elementos nulos, o determinante é nul:
Exemplo
0 0 0 0 0 Det. A= 0+0+0 - (0+0+0)= 0
A= 5 4 1 5 4
3 2 7 3 2
5 4 0 5 4 Det. B= 0+0+0 – (0+0+0)= 0
B= 1 3 0 1 3
2 7 0 2 7
Se a matriz A tem duas linhas ou 2 colunas iguais, o determinante é nulo.
Exemplo
5 5 2 5 5 Det. A= 90+20+24 – (24+20+90)= 134+134= o
A= 3 3 1 3 3
4 4 6 4 4
Etapa 3º e 4º
6. Sistemas de Equações Lineares
6.1. Equação linear
Equação linear é toda equação da forma
a11x1 + a12x2+ a13x3 +...+... + a1nxn = b1
Em que a11, a12, a13,... , a1n são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas;
x1, x2, x3,... , xn, são as incógnitas; e b1 é um número real chamado termo independente (quando
b=0, a equação recebe o nome de linear homogênea).
6.2. Solução de uma equação linear
Uma seqüência de números reais (r1, r2, r3,..., rn) é solução da equação linear
a11x1 + a12x2+ a13x3 +...+... + a1nxn = b1
se trocarmos cada xi por ri na equação e este fato implicar que o membro da esquerda é
identicamente igual ao membro da direita, isto é:
a11r1 + a12r2+ a13r3 +...+... + a1nrn = b1
Sistemas de Equações Lineares
Um conjunto de equações lineares da forma:
é um sistema linear de m equações e n incógnitas.
6.3. Solução De um Sistema Linear
Os valores das variáveis que transformam simultaneamente as equações de um sistema linear em
identidade, isto é, que satisfazem a todas as equações do sistema, constituem sua solução. Esses
valores denominados raízes do sistema de equação lineares.
6.4. Classificação e Utilização de um Sistema Linear
Todo Sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções apresentados por ele:
SPD: Sistema Possível e Determinado – Possui apenas uma solução
SPE: Sistema Possível e Indeterminado – Possui infinitas soluções
SI: Sistema Impossível – não possui solução
E utilizado em resolução de 2 ou mais variáveis; resolução de sistemas parametrizados; calculo
multivetorial (“3D”).
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6.5. Matrizes Associadas a um Sistema Linear
Matriz Completa: matriz B que se obtém acrescentando à matriz incompleta uma última coluna
formada pelos termos independentes das equações do sistema.
2 3 -1 x 0
4 1 1 * y = 7
-2 1 1 z 4
Matriz dos Termos Independentes
Matriz Matriz dos Coeficientes das Variáveis
23
D1
D
D1
D
D3
D
D2
Dn
D
Etapa 5º
7. Regra
...