MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)

O mínimo múltiplo comum, ou m.m.c., de dois ou mais números inteiros é o menor múltiplo inteiro positivo comum a todos eles. Por exemplo, o m.m.c. de 6 e 8 é o 24, e denotamos isso por mmc6, 8=24 Já o m.m.c. de 5, 6 e 8 é o 120, o que é denotado por mmc5, 6, 8=120.

O m.m.c. é muito útil quando se adicionam ou subtraem frações, pois é necessário um mesmo denominador comum durante esses processos. Não é necessário que esse denominador comum seja o m.m.c., mas a sua escolha minimiza os cálculos. Considere o exemplo:

326+18=656+756=1356, onde o denominador 56 foi usado porque mmc28, 8 = 56.

Regra prática para calcular o m.m.c. de dois números. Para calcular o m.m.c. entre 28 e 8, fazemos o seguinte:

1. Reduzimos a fração ,28-8. aos seus menores termos:

288=72.

2. Multiplicamos em cruz a expressão obtida:

28x2=8x7=56

3. O valor obtido é o m.m.c. procurado: mmc28, 8=56.

Regra geral para calcular o m.m.c. de dois ou mais números. O procedimento geral para o cálculo do m.m.c. envolve a decomposição primária de cada número. Por exemplo, para calcular o m.m.c. de 8, 12 e 28, fazemos o seguinte:

1. Realizamos a decomposição primária de cada número:

8=23

12=22∙31

28=22∙71

2. Em seguida, multiplicamos cada fator primo elevado à maior potência com que aparece nas fatorações. O resultado é o m.m.c. procurado:

mmc8, 12, 28=23∙31∙71=168

Dispositivo prático para calcular o m.m.c. de dois ou mais números. O procedimento acima tem a seguinte forma prática de execução:

1. Alinhamos os três números, 8, 12 e 28, e dividimos todos os números que podem ser divididos pelo primeiro primo 2. Na linha de baixo anotamos cada quociente obtido:

2. Repetimos esse procedimento sucessivamente com o 2, depois com o 3 e, depois com o 7, até que a última linha só contenha algarismos 1:

3. Agora, multiplicamos todos os fatores primos na coluna da direita, obtendo o m.m.c. procurado:

mmc8, 12, 28=2∙2∙2∙3∙7=168

PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DO M.M.C. Todo múltiplo comum de dois ou mais números inteiros é múltiplo do m.m.c. destes números.

Exemplo: os múltiplos comuns positivos de 8, 12 e 28 são exatamente os múltiplos positivos de 168, o seu m.m.c., ou seja, são 168, 336, 504,...

Exemplo: encontre o menor número inteiro positivo de três algarismos que é divisível, ao mesmo tempo, por 3 ,4 e 15.

Solução: pela propriedade fundamental do m.m.c., o número desejado será o menor número de três algarismos múltiplo do m.m.c. de 3, 4 e 15. Como mmc3, 4, 15=60, então o menor múltiplo de três algarismos é o 120.

MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)

O máximo divisor comum, ou m.d.c., de dois ou mais números inteiros é o maior divisor inteiro comum a todos eles. Por exemplo, o m.d.c. de 16 e 36 é o 4, e denotamos isso por mdc16,36=8. Já o m.d.c. de 30, 54 e 72 é o 6, o que é denotado por mdc30, 54, 72=6.

Regra geral para calcular o m.d.c. de dois ou mais números. O procedimento geral para o cálculo do m.d.c., como no caso do m.m.c., envolve a decomposição primária de cada número. Por exemplo, para calcular o m.m.c. de 30, 54 e 72, fazemos o seguinte:

1. Realizamos a decomposição primária de cada número:

30=21∙31∙51

36=22∙32

72=23∙32

2. Em seguida, multiplicamos os fatores primos comuns elevados à menor potência com que cada um aparece nas fatorações. O resultado é o m.d.c. procurado:

mmc30, 36, 72=21∙31=6

Dispositivo prático para calcular o m.d.c. de dois ou mais números. O procedimento acima tem a seguinte forma prática de execução:

1. Alinhamos os três números, 30, 36 e 72, e dividimos todos os números que podem ser divididos pelo primeiro primo 2. Na linha de baixo anotamos cada quociente obtido:

2. Repetimos esse procedimento com o próximo primo que divida os três quocientes e, assim, sucessivamente, até que não hajam mais primos comuns:

3. Agora, multiplicamos todos os fatores primos na coluna da direita, obtendo o m.d.c. procurado: mdc30, 36, 72=2∙3=6

O ALGORITMO DE EUCLIDES PARA O CÁLCULO DO M.D.C. DE DOIS NÚMEROS.Para o cálculo do m.d.c. de dois números, existe um dispositivo extremamente rápido e econômico. Trata-se do algoritmo de Euclides, que descrevemos, agora, para calcular o m.d.c. de 305 e 360.

1. Dividimos o maior número, 360, pelo menor, 305, obtendo resto 55, posicionando o resto abaixo do divisor:36030555

2. Em seguida, transportamos o resto 55 para o lado direito de 305 e dividimos o 305 por 55, posicionando o novo resto abaixo do 55: