OPERAÇÕES UTILIZANDO MATRIZES

SUMÁRIO

INTRODUCÃO 04

1. MONTAGEM DA MATRIZ 05

2. CLASSIFICAÇÕES DAS MATRIZES 05

2.1 MATRIZ QUADRADA 05

2.2 MATRIZ IDENTIDADE 05

2.3 MATRIZ INVERSA 06

3. OPERAÇÕES UTILIZANDO MATRIZES 06

3.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO ENTRE MATRIZES 06

3.2 MULTIPLICAÇÃO ENTRE MATRIZES 07

3.3 MATRIZ INVERSA 07

4. PRODUTO 09

CONCLUSÃO 10

BIBLIOGRAFIA 11

INTRODUÇÃO

Este trabalho visa mostrar alguns dos conceitos básicos sobre matrizes: o que são matrizes, como montar uma matriz e também como fazer uma matriz de adição, subtração, multiplicação, e a inversa.

Matriz é uma estrutura matemática montada em forma de tabela com linhas e colunas, usada para organizar dados e informações. Quando ela é usada em álgebra, a matriz é responsável pela solução de sistemas lineares.

1. Montagem de uma Matriz

Podemos construir uma matriz de acordo com uma lei de formação, que podem variar dependendo da situação.

O exemplo a seguir mostra como construir uma matriz de ordem 3x3, seguindo a orientação aij=3i+2j.

[■(a11&a12&a13@a21&a22&a23@a31&a32&a33)] => [■(3x1+2x1&3x1+2x2&3x1+2x3@3x2+2x1&3x2+2x2&3x2+2x3 @3x3+2x1&3x3+2x2&3x3+2x3 )] => [■(5&7&9@8&10&12@11&13&15)]

2. Classificação das matrizes

Esses são alguns tipos de matrizes existentes.

2.1 Matriz quadrada

Uma matriz é chamada de quadrada quando se tem o mesmo número de linhas e colunas, ou seja, quando m tem a mesma quantidade de elementos que n. Numa matriz quadrada A de ordem n × n, chama-se de diagonal principal os elementos aij onde i = j, para i de 1 a n.

2.2 Matriz identidade

A matriz identidade In é a matriz quadrada n × n em que todas as entradas da diagonal principal são iguais a 1 e as demais são iguais a zero, por exemplo,

In= |■(1&0@0&1)|

É chamada de matriz identidade, pois multiplicá-la por outra matriz não altera a matriz: MIn = ImM = M para qualquer matriz M de ordem m por n.

 

2.3 Matriz inversa

Uma matriz A^(-1)é chamada inversa de uma matriz A, se obedece à equação matricial A.A^(-1)=I, ou seja, se o produto entre as matrizes é a matriz identidade. A analogia com os números reais é evidente, pois assim como o produto entre dois números inversos é a unidade (elemento neutro da multiplicação), o produto entre duas matrizes inversas é a matriz identidade (elemento neutro da multiplicação entre matrizes). Uma matriz que possui inversa é dita inversível.

A condição necessária e suficiente para que uma matriz quadrada seja inversível é possuir um determinante não nulo, sendo que para uma dada matriz A, a matriz inversa é única. A necessidade de possuir determinante não nulo é evidente na equação A^(-1)=1/det⁡(A) .adj(A), pois nela o determinante da matriz original é denominador de uma fração.

3. Operações utilizando matrizes

3.1 Adição e subtração entre matrizes

As matrizes A e B do tipo m por n, sua soma A + B é a matriz m por n computada adicionando os elementos correspondentes: (A + B)[i,j] = A[i, j] + B[i,j].

Exemplo:

[■(1&3&2@1&0&0@1&2&2)]+[■(1&3&2@1&0&0@1&2&2)]=[■(1+0&3+0&2+5@1+7&0+5&0+0@1+2&2+1&2+1)]=[■(1&3&7@8&5&0@3&3&3)]

Para melhorar a forma de calcular, você pode reescrever a segunda matriz, revertendo seus elementos, onde o elemento (-1) passará para (1) e o elemento (2) passará para (-2) e assim sucessivamente. Após feito isso, além de fazer A-B, você usará A+B.

3.2 Multiplicação de matrizes

Multiplicação de duas matrizes é bem definida apenas se o número de colunas da matriz da esquerda é o mesmo número de linhas da matriz da direita. Se A é uma matriz m por n e B é uma matriz n por p, então seu produto AB é a matriz m por p (m linhas e p colunas) dada por:

(AB)[i,j] = A[i,1]B[1,j] + A[i,2]B[2,j] + ... +A[i,n]B[n,j]

para cada par i e j.

Exemplo:

[■(1&0&2@-1&3&1)]= [■(3&1@2&1@1&0)]=[■((1x3+0x2+2x1)&(1x1+0x1+2x0)@(-1x3+3x2+1x1)&(-1x1+3x1+1x0))]=[■(5&1@4&2)]

É importante notar que a comutatividade não é garantida; isto é, dadas as matrizes A e B com seu produto definido, então geralmente AB ≠ BA.

3.3 Matriz Inversa

Dizemos que uma matriz terá uma matriz inversa se for quadrada e se o produto das duas matrizes for igual a uma matriz identidade quadrada de mesma ordem das outras.

Dada duas matrizes quadradas C e D, C será inversa de D se, somente se, C. D ou D. C for igual a In. Portanto, dizemos que

C = D-1 ou D = C-1.

Exemplo:

Verifique se a matriz A = (■(2&5@1&3))e a matriz B =(■(1&2@1&1)) são inversas entre si.

Para que seja verdade o produto A . B = I2.

(■(2&5@1&3)).(■(1&2@1&1))=(■(1&0@0&1))