PROCESSANDO A INVESTIGAÇÃO DAS FUNÇÕES DO COMPOSTO

DESALGEBRIZANDO O ESTUDO DE FUNÇÕES COMPOSTAS

Andréa Paura – mestranda IM-UFRJ – [e-mail]

Carla Fernandes – mestranda-IM-UFRJ – [e-mail]

Cláudia Segadas – IM-UFRJ – [e-mail]

Cláudio Bispo – mestrando IM-UFRJ – [e-mail]

Gisela Pinto – mestranda IM-UFRJ – [e-mail]

INTRODUÇÃO

Com o advento da Matemática Moderna, o conceito de função passou a ser ensinado no que atualmente corresponde ao 9o ano do Ensino Fundamental e 1o ano do Ensino Médio, como um subconjunto do produto cartesiano entre dois conjuntos dados que tem uma propriedade específica, ou seja,

“Dados dois conjuntos A e B, f é função de A em B  ” (IEZZI & MURAKAMI, 1985).

Em particular, a função composta é definida da seguinte forma:

“Seja f uma função de um conjunto A em um conjunto B e seja g uma função de B em um conjunto C; chama-se função composta de g e f à função h de A em C definida por h(x) = g(f(x)) para todo x em A. Indicaremos h(x) por (gof)(x)” (IEZZI & MURAKAMI, 1985).

Temos ainda a definição de função inversa, que diz “a relação f-1 = {(y, x)/ (x, y) f}, inversa de f, é também uma função se f é uma bijeção de A em B” (IEZZI & MURAKAMI, 1985).

Atualmente, as novas orientações curriculares direcionam os professores para uma abordagem menos formal e mais intuitiva, onde a idéia de função vai sendo gradualmente construída através da utilização de relações diretas e práticas cotidianas e contextualizadas. Desta forma a formalização ocorre somente após a formação do conceito, sendo que em alguns livros didáticos encontramos apenas a descrição do tipo de notação usada para representar uma função.

No que diz respeito à composição de funções, no PCNEM+ (MEC, 2002) observa-se que esta aparece como um tema de tratamento opcional para o professor por ser de difícil contextualização e que, tradicionalmente, apresenta um caráter puramente algébrico. O mesmo acontece com a função inversa, porém com o recurso do gráfico para a visualização de simetria em relação à reta y = x.

Segundo Paura (2006), apesar dessas abordagens levarem à construção do conhecimento matemático, os alunos ainda encontram dificuldades quando se confrontam com situações problema a serem resolvidas utilizando implicitamente o conceito de função.

Motivados pelo quadro anteriormente descrito propomos neste trabalho a realização de um minicurso com o objetivo de oferecer um enfoque diferenciado à composição e inversão de funções, desalgebrizando-os.

É importante ressaltar que tal noção é vital para o desenvolvimento futuro de tópicos de Cálculo Diferencial e Integral tais como derivação de funções compostas pela regra da cadeia. A má formação do conceito de função composta acarretará a formação de obstáculos de difícil transposição neste tipo de diferenciação.

UM BREVE HISTÓRICO

O conceito de função apresenta dificuldades de origem epistemológica, uma vez que sua idéia já existia de modo intuitivo - assim como também havia a necessidade premente de usar estas noções - mas a definição formal surge apenas no século XVIII.

A construção do conceito de função constitui-se historicamente através de um longo processo. Tomando por base, por exemplo, a idéia de correspondência, podemos dizer que já as tábuas babilônicas e egípcias usadas para cálculos já pressupunham intuitivamente uma idéia de função, uma vez que relacionavam a correspondência de um número com as operações que o envolvem. No século XIII, os filósofos escolásticos - que seguiam a escola de Aristóteles, discutiam a quantificação de formas variáveis. Entre tais formas, eles estudavam a velocidade de objetos móveis e a variação da temperatura de ponto para ponto de um sólido aquecido. Já no século XIV, Oresme, teólogo e matemático francês, representava através de diagramas uma correspondência entre pontos do espaço e intensidades de uma certa qualidade nesses pontos. A idéia de Oresme foi aprofundada mais tarde, no século XVII, com Fermat e Descartes que definiram um sistema de coordenadas no plano e estabeleceram a correspondência entre uma equação f(x,y) = 0 e a curva plana construída por todos os pontos de coordenadas (x,y) que satisfaziam a equação dada, introduzindo assim um outro conceito vital de função: a noção de variável. (SANTOS, A. et al, 1998)

Sua formalização porém ocorreu bem mais tarde, por Leibniz (1646 - 1716), que utilizou este termo para designar um certo tipo de fórmula matemática. Mais tarde viu-se que a idéia de função por ele desenvolvida tinha um alcance muito restrito e foi então experimentando generalizações sucessivas até chegar à forma que conhecemos atualmente (ROQUE, 2006).

Com o advento do movimento da Matemática Moderna, o ensino do conceito de função passou a ser trabalhado a partir do que corresponde atualmente ao terceiro ciclo do ensino fundamental, de maneira formal, baseando-se em Teoria dos Conjuntos e com um enfoque essencialmente algébrico. O estudo de funções ao final do ensino fundamental e nas séries iniciais do ensino médio em muitos casos reduz-se às resoluções de equações construídas através da sua lei de formação. Deste modo, perde-se a noção de variação e de movimento que estão presentes nas relações de dependência entre variáveis, que foi uma das motivações centrais para o desenvolvimento do conceito de função. É claro que a álgebra trouxe ao conceito de função um tratamento mais rigoroso e livre de ambigüidades e inconsistências; porém, cremos que para um aluno da educação básica a abordagem gráfica das relações de dependência entre as variáveis de modo a extrair-se uma regularidade e conseqüentemente chegar-se a uma generalização, constitui-se numa metodologia eficaz no ensino de funções.

REFERENCIAL TEÓRICO

A abordagem algébrica desligada de um contexto ou de uma representação visual torna o aprendizado de função composta memorístico.

A aprendizagem mecânica ou memorística se dá com a absorção literal e não-substantiva do novo material. O esforço necessário para este tipo de aprendizagem é muito menor, daí ele ser tão utilizado quando os alunos se preparam