Polinomios

EP 02 – 2014 – 2 – Polinômios – Análise de Sinais Pré-Cálculo

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CEDERJ

EP 02

Pré-Cálculo

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Caro aluno

Agora que já sabemos fatorar polinômios, vamos analisar o sinal dos polinômios e de expressões que envolvem produto, quociente, potência e raiz de polinômios.

Analisar sinal de expressões que envolvem polinômios nos ajudará, por exemplo, a construir gráficos de funções. Em Cálculo I você verá o quanto isso é importante. Cálculo de limites pode depender dessa análise. A análise do sinal da derivada de uma função nos dá informações importantes sobre o comportamento dessa função.

Disponibilizamos na plataforma, Semana 2, o texto complementar Módulo (Valor Absoluto) de um número real. Estude esse texto, lá você encontra a definição de valor absoluto, a definição geométrica de valor absoluto, equações e inequações envolvendo módulo. Os exemplos o ajudarão a esclarecer possíveis dúvidas. Compreender a definição do valor absoluto, saber usá-lo, será extremamente importante para a construção do gráfico da função cuja lei de formação envolve o valor absoluto.

A seguir, disponibilizamos informações sobre a Análise de Expressões. Vamos trabalhar?!

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Analisando o sinal de expressões.

O Resultado 2 do EP01 nos diz que: "Todo polinômio 0 1 1 1 ....)( a xaxaxaxp n n n n     onde 1 n , IR ia , n i ..., ,3,2,1,0 , se decompõe em fatores lineares e ou fatores quadráticos irredutíveis".

Portanto, analisar o sinal de um polinômio, significa analisar o sinal dos fatores lineares e/ou fatores quadráticos irredutíveis da sua decomposição e a seguir, usar a seguinte propriedade de ordem dos reais: Dados IR ,  ba , valem as equivalências: (i) ) 00()00(0  beaoubeaba (ii) ) 00()00(0  beaoubeaba .

No caso dos fatores lineares b ax , com IR ,  ba , , temos:

No caso dos fatores quadráticos irredutíveis c xbxa  2 , com 0 aeIR,,  cba , observemos que:

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Completando o quadrado de c xbxa  2 , na variável x, temos

 cx a b xacx a b xacxbxa ) 2 2()( 222

 c a b a a b x a b xac a b a b x a b xa 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 ) 42 2() 442 2(      ) 4 4 ( 1 ) 2 () 4 4 () 2 ( 4 ) 2 ( 2 2 2 2 2 2 c ab aa b xa a cab a b xac a b a b xa 

 

     ) 4 4 () 2 ( 1 2 22 c ab a b xa a

.

Portanto,         ) 4 4 () 2 ( 1 2 222 c ab a b xa a cxbxa .

Assim, analisar o sinal do fator quadrático irredutível c xbxa  2 , significa analisar o sinal de 

 

     ) 4 4 () 2 ( 1 2 22 c ab a b xa a

.

Como o fator quadrático c xbxa  2 é irredutível, então 0 42   c ab , donde

0

4 42   c ab

e, portanto, 0 ) 4 4 ( 2    c ab

.

Como 0 ) 2 ( 22   a b xa então 0 ) 4 4 () 2 ( 2 22    c ab a b xa .

Assim o sinal de         ) 4 4 () 2 ( 1 2 22 c ab a b xa a

depende do sinal do coeficiente a da

variável 2 x .

Analisar o sinal de uma expressão ) (xE significa que é preciso realizar as quatro tarefas a seguir: 1- Encontrar todos os números reais, isto é, todos os valores de IR x para os quais é possível calcular ) (xE . Nesse caso esses possíveis valores de x formam um conjunto, que é chamado de domínio da expressão.

Portanto, no caso do fator quadrático irredutível cxbxa 2 , com 0 aeIR,,  cba :  se 0 a , então IR ,02   x paracxbxa .  se 0 a , então IR ,02   x paracxbxa .

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Dependendo da expressão, esse conjunto é um intervalo ou uma união de intervalos disjuntos (intervalos disjuntos são intervalos que não têm nenhum ponto em comum). 2- Encontrar todos os números reais, isto é, todos os valores de IR x , para os quais 0)( xE .

Dependendo da expressão, esse conjunto é o conjunto vazio ou um conjunto de pontos isolados. 3- Encontrar todos os números reais, isto é, todos os valores de IR x , para os quais 0)( xE .

Dependendo da expressão, esse conjunto é o conjunto vazio ou um intervalo ou uma união de intervalos disjuntos. 4- Encontrar todos os números reais, isto é, todos os valores de IR x , para os quais 0)( xE .

Dependendo da expressão, esse conjunto é o conjunto vazio ou um intervalo ou uma união de intervalos disjuntos.

A visualização da análise de sinal na reta numérica pode ser feita da seguinte forma:

Primeiro identificamos o domínio e marcamos na reta numérica os extremos dos intervalos do domínio da expressão, se esses extremos forem números reais. Marcamos os extremos que fazem parte do domínio com ′′bola cheia′′ e os que não fazem parte do domínio com ′′bola vazia′′. A seguir, escrevemos ′′nd