Retas no plano e suas inclinações

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Departamento de Matemática - UEL - 2010

Ulysses Sodré

http://www.mat.uel.br/matessencial/

Conteúdo

1 Retas no plano e suas inclinações 2

2 Circunferências e algumas relações 8

3 Tangentes e secantes em gráficos de funções 10

4 Derivadas de funções reais 12

5 Derivadas laterais 14

6 Regras gerais de derivação 16

7 Regra da cadeia 16

8 Fórmulas para derivadas de algumas funções 17

9 Exercícios especiais aplicados 17

‘O temor do Senhor é o princípio do conhecimento; mas os insensatos

desprezam a sabedoria e a instrução.’ A Bíblia Sagrada, Provérbios 1:7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arquivo: derivadas.tex - Londrina-PR,9 de Junho de 2010.Seção 1 Retas no plano e suas inclinações 2

1 Retas no plano e suas inclinações

1. Uma reta no plano cartesiano possui a equação reduzida na forma

y = ax +b

se ela não é uma reta vertical e

(a) a é o coeficiente angular (ou declividade, ou inclinação), e

(b) b é o coeficiente linear (ou intercepto) da reta.

2. O coeficiente angular a é a tangente do ângulo α formado entre a reta

e o eixo OX orientado positivamente, isto é, a = tan(α).

Figura 1: Uma reta e os seus coeficientes

3. O coeficiente linear b (ou intercepto) é a distância marcada no eixo OY

desde a origem do sistema até o ponto da reta que corta o eixo OY .

4. A reta horizontal que passa por P = (a,b) é denotada por y = b.

Figura 2: Uma reta vertical e outra reta horizontal

5. A reta vertical que passa pelo ponto P = (a,b) é denotada por x = a.

Matemática Essencial - Derivadas de Funções Reais - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2010Seção 1 Retas no plano e suas inclinações 3

6. A reta com equação reduzida y = x representa a função identidade.

7. As três retas definidas por y = 2x − 3, y = 2x e y = 2x + 3, possuem

o mesmo coeficiente angular a = 2, o que significa que elas são retas

paralelas, pois possuem coeficientes lineares diferentes.

Figura 3: Três retas paralelas com coeficiente angular a=2

8. As três retas definidas por y = −2x −3, y = −2x e y = −2x +3, possuem

o mesmo coeficiente angular a = −2, significando que elas são retas

paralelas, pois possuem coeficientes lineares diferentes.

Figura 4: Três retas paralelas com coeficiente angular a=-2

9. Quando uma reta tem equação y = kx onde k ∈ R, esta reta passa

pela origem do sistema, representando um tipo muito importante de

função denominada função linear.

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10. Seja uma família de retas da forma y = kx. Usando os valores reais de

k = −3,−2,−1,−

1

2

, 0, 1

2

, 1, 2, 3 podemos observar as suas formas gráficas.

Figura 5: Retas passando pela origem com coeficientes angulares diferentes

11. Dada uma variável x, que assume dois valores x0 (x inicial) e x1 (x final),

definimos a diferença entre estes dois valores por

∆x = x1 − x0 = xfinal − xinicial

A diferença entre x0 = 5 e x1 = 12 é igual a

∆x = x1 − x0 = 12−5 = 7

e a diferença entre x0 = −5 e x1 = 12 é igual a

∆x = x1 − x0 = 12−(−5) = 17

12. Se y = g (x) e y0 = g (x0) e y1 = g (x1), definimos a diferença entre estes

dois valores y0 (y inicial) e y1 (y final) por

∆y = y1 − y0 = yfinal − yinicial = g (x1)− g (x0)

Se y = g (x) = x

3

, x0 = 5 e x1 = 7, a diferença entre y0 = g (5) = 125 e

y1 = g (7) = 343 é igual a

∆y = y1 − y0 = g (x1)− g (x0) = g (7)− g (5) = 343−125 = 218

Matemática Essencial - Derivadas de Funções Reais - Ulysses Sodré - Matemática - UEL - 2010Seção 1 Retas no plano e suas inclinações 5

Se y = g (x) = x

3

, x0 = −3 e x1 = 7, a diferença entre y0 = g (−3) = −27 e

y1 = g (7) = 343 é igual a

∆y = y1 − y0 = g (x1)− g (x0) = g (7)− g (−3) = 343−(−27) = 370

13. Para determinar o coeficiente angular de uma reta, devemos ter dois

pontos A = (x1, y1) e B = (x2, y2) da reta e construir a razão:

a