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Teoremas

Por:   •  8/6/2015  •  Trabalho acadêmico  •  878 Palavras (4 Páginas)  •  133 Visualizações

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Series - Teoremas

1 Teorema 1.

Se

P

an e

P

bn s~ao series convergentes, ent~ao as series

P

c an (sendo c uma constante) e

P

(an  bn) tambem

s~ao convergentes

a.

P

c an = c

P

an

b.

P

(an  bn) =

P

an 

P

bn ,

2 Testes de converg^encia:

2.1 Teorema 2 (Teste da diverg^encia)

Se limn!+1 an n~ao existe ou se limn!+1 an 6= 0, ent~ao a serie

P

an e divergente.

2.2 Teorema 3 (Teste da integral)

Seja

P

an uma serie com termos positivos e seja f(x) a func~ao que resulta quando k for substitudo por x no

termo geral da serie. Se f e decrescente e contnua no intervalo [a;+1), ent~ao

a. Se

R +1

a f(x)dx e convergente,

P

an e convergente

b. Se

R +1

a f(x)dx e divergente,

P

an e divergente

2.2.1 Estimativa do erro para o teste da integral

Se f(n) = an uma func~ao contnua, positiva e decrescente para x  n e

P

an e convergente. O erro de

truncamento Rn satisfaz

Z 1

n+1

f(x)dx  Rn 

Z 1

n

f(x)dx (1)

2.2.2 p-series

A serie

P1

n=1

1

np e convergente se p > 1 e divergente se p  1

2.3 Teorema 3 (Teste da comparac~ao)

Sejam

P

an e

P

bn series com termos positivos,

a. Se

P

bn e convergente e an  bn para todo n > No, ent~ao

P

an e convergente

b. Se

P

bn e divergente e an  bn para todo n > No, ent~ao

P

an e divergente

2.3.1 Teorema 4 (Teste da comparac~ao dos limites)

Sejam

P

an e

P

bn series com termos positivos, se

lim

n􀀀!1

an

bn

= c (2)

onde c e um numero nito e c > 0, ent~ao ambas as series convergem ou ambas as series divergem.

1

2.3.2 Estimativa do erro para o teste de comparac~ao

Sejam

P

an com erro Rn e

P

bn com erro Tn, series convergentes com termos positivos e an  bn para todo

n > No, ent~ao Sn  Tn

2.4 Teorema 5 (Teste de series alternadas)

Se a serie alternada

1X

n=1

(􀀀1)nan = a1 􀀀 a2 + a3 􀀀 a4 + ::::::::(an > 0) (3)

satisfaz

a. an+1  an , para todo n

b. limx􀀀!1 an = 0 ,

a serie e convergente.

2.4.1 Estimativa do erro para o teste de series alternadas

Se a serie alternada

P1

n=1(􀀀1)nan satisfaz

a. an+1  an , para todo n

b. limx􀀀!1an = 0 ,

ent~ao jRnj  an+1

2.5 Teorema 6 (Teste da raz~ao)

2.5.1 De nic~ao

uma serie

P

an e chamada de absolutamente convergente se a serie de valores absolutos

P

janj e convergente.

2.5.2 Teorema

seja a serie

P

an

lim

n􀀀!1

j

an+1

...

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