Calculo Diferencial

Calculo Diferencial I

Nos exercícios 1 a 32, calcule a área da região limitada pelas curvas indicadas:

1º 9. y²=x e y=x²

y²=x

y=x²

y=√x

(x^2 )^2=(√x)²

x^4=x

x^4-x=0

x(x^3-1)=0

x=0

x³-1=0

x³=1

x= √(3&1)

x=1

∫_0^1▒〖√x dx〗 ∫_0^1▒〖x² dx〗

A_1 (x)= ∫_0^1▒〖x^(1/2) dx〗

= x^(1/2+1)/(1/2+1) |1¦0┤ = x^(3/2)/(3/2) |1¦0┤=(2√(x^3 ))/3

(2√(1^3 ))/3- (2√(0^3 ))/3=2/3

A_2 (x)= ∫_0^1▒〖x² dx〗

= x^3/3 |1¦0┤ = 1³/3-0^3/3=1/3

A= A_1- A_2

A=2/3-1/3=1/3

2º 34. Ache a área da região limitada pela reta x=ln2 e pelas curvas dadas por y=cos h⁡〖x-1〗e y=senh x.

cos⁡〖h x〗= (e^x+e^(-x))/2=(e^ln2+e^(-ln2))/2=(2+1/2)/2=(5/2)/2=5/4

sen⁡〖h x〗= (e^x-e^(-x))/2=(e^ln2-e^(-ln2))/2=(2-1/2)/2=(3/2)/2=3/4

A_1 (x)= ∫_0^ln2▒(coshx-1)Dx=∫_0^ln2▒coshx- ∫_0^ln2▒dx

=sen hx |█(ln2@0)┤=

=sen h (ln2)-sen h0-(ln2-0)=

=sen h (ln2)- ln2

A_1 (x)= ∫_0^ln2▒〖sen hx Dx〗=cosh x |█(ln2@0)┤

cosh(ln2)-cosh 0=coh(ln2)-1

A=A_1- A_2=senh(ln2)-ln2-[cosh(ln2)-1]

A=senh(ln2)-ln2-cosh(ln2)+1

A=e^(-ln2)-ln2+1=1/2+1-ln2=3/2-ln2

≅1,5-0,7 → ≅0,8

3º 15. Calcule o volume do sólido de revolução, obtido quando a região limitada pela curva x^(2/3)+y^(2/3)=1 e acima do eixo X, gira em torno do eixo X.

x^(2/3)+y^(2/3)=1

√(3&x)+ √(3&y)=1

(√(3&y^2 ))^3=( 1- √(3&x^2 ))³

y²= ( 1- √(3&x^2 ))³

= ∫_(-1)^1▒〖π R²dx 〗= π ∫_(-1)^1▒〖R² dx〗

= π∫_(-1)^1▒〖( 1- √(3&x^2 ))³ dx〗= π ∫_(-1)^1▒〖( 1- √(3&x^2 ))³ dx〗

Obs: (1-√(3&x^2 ))^3=(1-√(3&x^2 ))² (1-√(3&x^2 ))

=(1-2√(3&x^2 )+√(3&x^4 ))(1-√(3&x^2 ))=

=(1-√(3&x^2 )-2√(3&x^2 )+ 2√(3&x^4 )+√(3&x^4 )- √(3&x^6 ))=

=1-3√(3&x^2 )+ 3√(3&x^4 )+√(3&x^4 )- x²

=π[∫_(-1)^1▒〖dx-3〗 ∫_(-1)^1▒〖x^(3/2) dx+3〗 ∫_(-1)^1▒x^(4/3) - ∫_(-1)^1▒x²dx]

=π[x├|█(1@-1)┤-3^(2/3+1)/(2/3+1) ├|█(1@-1)┤ 〖3x〗^(4/3+1)/(4/3+1) ├|█(1@-1)┤-x^3/3 ├|█(1@-1)┤ ]

=π[1-(-1)-(3√(3&x^5 ))/(5/3) ├|█(1@-1)┤+ (3√(3&x^7 ))/(7/3) ├|█(1@-1)┤-(1^3/3-(-1)^3/3]

=π[2-((9√(3&x^5 ))/5- (9√(3&〖(-x)〗^5 ))/5)+ (9√(3&x^7 ))/7-(9√(3&〖(-x)〗^7 ))/7-2/3]

=π[2-18/5+ 18/7-2/3]=π (210-378+270-70)/105 = 32π/15

3º 16. Um círculo de raio r com centro em (x_0,0), onde x_0≥r, gira em torno do eixo Y, calcule o volume do sólido de revolução obtido.

(x- x_0 )^2+(y-y_0 )²=R²

(x- x_0 )^2+y²=R²

(x- x_0 )^2=R²-y²

x- x_0= ± √(R^2-y^2 )

x= x_0+ √(R^2-y^2 ) Raio maior

x= x_0- √(R^2-y^2 ) Raio menor

V= ∫_b^a▒〖(x_0+√(R^2-y^2 ))²-(x_0-√(R^2-y^2 ))² 〗

Obs: (x_0+√(R^2-y^2 ))^2- (x_0-√(R^2-y^2 ))^2

=(x_0+√(R^2-y^2 )+x_0-√(R^2-y^2 ))(x_0+√(R^2-y^2 )- x_0+√(R^2-y^2 ))=

Então:V= π ∫_b^a▒〖4x_0 √(R^2-y²)=〗

=4πx_0 ∫_b^a▒√(R^2-y^2 )= 4πx_0 ((R√(R^2-y^2 ))/2-(y^2 log2√(R^2-y^2 )+2R)/2)|█(a@b)┤

2((4πx_0 R√(R^2-y^2 ))/2- (4πx_0 y^2 log(2√(R^2-y^2 )+2R))/2)|█(a@b)┤

=2[-2πx_0 R^2 log 2R-(2πx_0 R√(R^2 )) ]=

=2(-2πx_0 R^2 log 2R-2πx_0 R√(R^2 ))

=-4πx_0 R^2 (log 2R-1)

3º 17. Encontre o volume do sólido de revolução, gerado quando a região limitada pela curva √x+ √y= √ae os eixos coordenados, gira em torno:

(a) Do eixo X;

√x+ √y= √a

y=0 → √x= √a →x=a

x=0 → √y= √a →y=a

a)

R=y →(√4)^2=(√a- √x)^2

y=a-2 √ax+x

V= ∫_0^a▒〖π R²=〗 π∫_0^a▒(a-2√ax+x)^2 Dx

Obs: (a-2√ax+x)(a-2√ax+x)=

=a²-2a√ax+ax- 2a√ax+4ax- 2x√ax+ax- 2x√ax+x^2=

=a²-4a√ax+6ax- 4x√ax+x^2

= π(∫_0^a▒〖a^2 dx〗-∫_0^a▒〖4a√ax dx〗+∫_0^a▒〖6ax dx〗- ∫_0^a▒〖 4x√ax dx〗+ ∫_0^a▒〖x^2 dx〗)

=