Catapulta

1.INTRODUÇÃO

Neste projeto fomos motivados pelos professores da disciplina a construir um modelo de catapulta. Como este é o relatório inicial, nele será visto de maneira simplificada como funciona a parte do lançamento em que o projétil é lançado, então, só nos interessaram os instantes após o projétil sair da catapulta. Veremos as partes anteriores nos seguintes relatórios e ao fim deles o conhecimento será posto em prática e o conceito visto nos relatórios originará um modelo/maquete de uma catapulta

Como trataremos somente com os instantes após o lançamento os conceitos utilizados nesse relatório serão os conceitos vistos em sala com o professor de cinemática de partículas, mais especificamente a parte de lançamento oblíquo de projetos.

Foram-nos dadas condições iniciais e a partir de tais condições iniciais traçaremos a trajetória do projétil após sua saída da catapulta. Essa trajetória será feita em linguagem computacional no programa MATLAB. Será feito um código fonte que irá calcular a trajetória. Esse cálculo será feito com e sem a resistência do ar para posterior análise dos resultados e conclusões.

2.DESENVOLVIMENTO

Como visto na introdução o que iremos trabalhar nesse primeiro relatório são os instante após o lançamento do projeto e trataremos basicamente com um lançamento oblíquo. Temos então que nos lembrar das aulas de cinemática das partículas nas quais foi visto lançamento oblíquo.

Um lançamento oblíquo, ou movimento obliquo, é o movimento com um ângulo acima da horizontal, onde consideramos duas dimensões, x e y. Na direção horizontal não existe nenhuma aceleração, logo, a componente horizontal da velocidade (Vx) é sempre uma constante, ou seja, este movimento é uniforme. Na direção vertical a aceleração da gravidade age sobre o objeto, sendo que a componente vertical da velocidade (Vy) é máxima no ponto mais baixo e, zero no ponto mais alto quando o objeto para e inicia sua queda. Este movimento é, então, um movimento uniformemente variado.

Devemos decompor a velocidade nas direções x e y utilizando as relações de um triangulo retângulo.

Podemos ver os conceitos acima na figura abaixo:

Na figura (Vo) é a velocidade inicial e (Vox e Voy) Suas componentes no eixos x e y. Temos ainda (A) que é o alcance e (Hh) que é a altura máxima atingida pelo projétil na trajetória

Dividindo o lançamento obliquo em dois movimentos já conhecidos, podemos analisá-lo com as equações já estudadas em sala para movimento

uniforme e movimento uniformemente variado. As equações vistas para esse movimento foram:

1. Na direção x: 2. Na direção y:

Nos foram dadas condições iniciais, ou seja, parâmetros de nosso modelo de catapulta para trabalharmos com eles. Infelizmente não consegui inserir o modelo de nosso estudo aqui, mas ele foi amplamente visto em sala. Os dados iniciais:

• Comprimento (b): 0.9m

• Comprimento (a): 0.9m

• Altura (h): 1.2m

• Alcance (Xa): 15m

• Comprimento (l): 0.6m

• Ângulo da catapulta (Q-teta): 50 graus

Por uma análise do modelo, vemos que o alcance total do projétil, será o [Xa+a*cos(Q)+l*cos(Q)=15,96m] E a altura da qual o projétil foi lançado será [h+a*sin(Q)+l*sin(Q)=2,349m]

Inicialmente não nos foi dada a velocidade com a qual o projétil é lançado, porém ela pode ser facilmente calculado a partir dos dados fornecidos com as equações de movimento nos eixos x e y

V= {sqrt[gx²/yo+tg(90-Q).x]}/cos(90-Q)

Obteve-se que a velocidade inicial de lançamento é de aproximadamente 11.6353 m/s

A partir de todos esses dados então começou a parte numérica computacional do relatório, onde nos foi pedido que fizesse um código que traçasse a trajetória do projétil. Foram montados então dois códigos em MATLAB, um para a trajetória sem levar em consideração a força de resistência do ar, e um levando em consideração

Trajetória sem resistência do ar

Quando não levamos em consideração a resistência do ar os cálculo são bem simples e podem ser resolvidos com as equações triviais vistas no corpo do texto acima. Não há aceleração no eixo x, apenas no eixo y. E

essa aceleração no eixo y é igual a (–g). Faz-se um programa que receba as condições iniciais e execute as equações triviais. Gravamos os dados em vetores e depois plotamos. Segue abaixo o corpo do código.

%Projétil sem resistência do ar

clear

clc

close all

%Programa para cálculo da trajetória de

%um projétil sem resistência do ar

%Condições Iniciais

vart= .001; %intervalo de tempo usado no plot

x(1)=0; %posição inicial

y(1)=2.3490; %posição inicial

v=11.6353; %velocidade inicial

Q=40; %ângulo do lançamento inicial

vx=v*cosd(Q); %velocidade no eixo x

vy=v*sind(Q); %velocidade no eixo y

t(1)=0; %tempo inicial

g=9.816; %gravidade i=1;

while min(y)> -.001 %loop

ax=0;

ay=-g;

vx=vx+ax*vart;

vy=vy+ay*vart;

x(i+1)=x(i)+vx*vart+.5*ax*vart^2;

y(i+1)=y(i)+vy*vart+.5*ay*vart^2;

t(i+1)=t(i)+vart;

v = sqrt(vx^2 + vy^2);

i=i+1;

end

plot(x,y)

xlabel('distância (m)') ylabel('distância (m)')

title('Trajetória do Projétil')

Obtemos