Notas Equações Diferenciais

Notas de aula de EDB

(em construc~ao)

Aniura Milanes

Segundo semestre - 2014

2

Sumario

1 Introduc~ao 1

1.1 Generalidades sobre as equac~oes diferenciais parciais . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Que s~ao equac~oes diferenciais parciais? . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 EDPs lineares e o princpio de superposic~ao . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Algumas tecnicas elementares de resoluc~ao de EDPs . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Integrac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2 Tecnicas de resoluc~ao de EDOs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.3 Soluc~oes com estrutura predenida . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.4 Mudanca de variaveis independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 EDPs com Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 A equac~ao do calor 19

2.1 Deduc~ao e resoluc~ao de alguns problemas de contorno . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1 O problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.2 Temperatura zero nos extremos da barra . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Outros problemas de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.1 Barra com extremos termicamente isolados . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.2 Conduc~ao do calor numa barra circular . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.3 Temperatura constante nos extremos da barra . . . . . . . . . . . . 29

2.2.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3 Propriedades das soluc~oes do problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.1 Dissipac~ao do calor e unicidade da soluc~ao do problema de Dirichlet 32

2.3.2 Princpio do Maximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4 Estudo da equac~ao do calor usando Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4.1 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .