Chances de computação

esmitificando o Cálculo de Probabilidades

Para muitos o cálculo de probabilidades é a personificação do Bicho Papão. Esta página foi escrita justamente para mostrar que na verdade ele não passa de um lindo gatinho de olhos verdes.

Na página sobre conceitos da probabilidade a definimos como sendo a razão do número de elementos de um evento para o número de elementos do espaço amostral.

O espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrer

No evento do lançamento de um dado, qual é a probabilidade de cair o número 5?

Nós sabemos que um dado é um cubo que possui as suas faces numeradas de 1 a 6. Em termos de probabilidades o seu espaço amostral é:

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Como um dado possui seis faces distintas, possuindo apenas uma face igual a 5, a probabilidade de dar este valor é de uma em seis, que podemos representá-la assim:

Note que não há segredo, como dito acima, a probabilidade de um evento ocorrer nada mais é que a razão do seu número de elementos para o número de elementos do espaço amostral.

Obviamente esta é a situação mais simples, mas no fundo todas as situações irão se resumir a isto. Para que a explicação fique mais simples e também mais fácil o entendimento, vamos continuar trabalhando em cima de exemplos.

Exemplos

EnunciadoUm jovem casal pretende ter 3 filhos. Qual é a probabilidade de que tenham pelo menos uma menina?

Quantas são as combinações possíveis, ou em outras palavras, qual é o número de elementos do espaço amostral?

Para cada filho temos duas possibilidades, ou é masculino ou é feminino, então pelo princípio fundamental da contagem temos que 2 . 2 . 2 = 8, portanto há 8 agrupamentos possíveis.

Dos 8 agrupamentos possíveis um deles é formado apenas por meninos, todos os outros 7 possuem ao menos uma menina, portanto a probabilidade de que o casal tenha pelo menos uma menina é a razão de 7 para 8:

Se representarmos por M os filhos do sexo masculino e por F os filhos do sexo feminino, podemos representar assim o espaço amostral:

S = { (F, F, F), (F, F, M), (F, M, F), (F, M, M), (M, F, F), (M, F, M), (M, M, F), (M, M, M) }

Confirmando o que foi dito acima, apenas o último elemento não possui meninas, então 7 dos 8 eventos possíveis satisfazem à condição do enunciado, confirmando também a probabilidade calculada acima.

RespostaA probabilidade de que tenham pelo menos uma menina é 7/8.

EnunciadoQual é a probabilidade do jovem casal vir a ter tanto meninos quanto meninas?

Analisando o espaço amostral deduzimos que o evento E = { (F, F, M), (F, M, F), (F, M, M), (M, F, F), (M, F, M), (M, M, F) } satisfaz as condições do enunciado, pois seus elementos possuem tanto meninos quanto meninas. Como este evento possui 6 elementos, que representamos por n(E) = 6, então a probabilidade será:

RespostaA probabilidade de venham a ter tanto meninos quanto meninas é 3/4.

EnunciadoQual é a probabilidade de que venham a ter mais meninas que meninos?

A partir do espaço amostral vemos que o evento E = { (F, F, F), (F, F, M), (F, M, F), (M, F, F) } satisfaz a condição desejada. Visto que este evento possui 4 elementos, temos que a probabilidade será:

Já que estamos levando em consideração apenas a existência de dois sexos, sem levarmos em conta fatores biológicos, por exemplo, este resultado já era de se esperar, pois obviamente a probabilidade de que venham a ter mais meninos que meninas deve ser a mesma, pois 1/2 + 1/2 = 1. Este 1 representa o número de elementos do espaço amostral e como