A Lista Mec Estat
Por: perolapql • 8/7/2021 • Abstract • 745 Palavras (3 Páginas) • 167 Visualizações
Estatística de partículas idênticas
Em uma descrição estatística dos estados possíveis de um sistema de N partículas quânticas idênticas
e não interagentes, o fato de que as partículas são indistinguíveis sugere definir os microestados com
base na especificação dos números de ocupação, ou seja, os números de partículas nos diversos
estados de uma só partícula. Explicitamente, um microestado do sistema de N partículas é definido
pelo conjunto
{n1, n2, n3, . . .} ≡ {nj} ,
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em que j rotula os estados de uma só partícula3
e, para cada nj , teríamos
nj ∈ {0, 1, 2, 3, . . .} , (bósons)
no caso de bósons, e
nj ∈ {0, 1} , (férmions)
no caso de férmions, de modo a respeitar o princípio de exclusão. Dado o conjunto {nj}, a energia
do sistema de N partículas é a soma
E {nj} =
X∞
j=1
nj j ,
em que j é a energia de uma só partícula no estado j.
Caso fixemos o número N de partículas, o conjunto de microestados compatíveis seria dado por
todos os {nj} tais que
X∞
j=1
nj = N.
A função de partição canônica do sistema é dada por
Z (T, V, N) = X
{nj }
0
e
−βE{nj } =
X
{nj }
0
e
−β
P
j nj j
,
em que a soma sobre {nj} está restrita aos microestados compatíveis com o número fixo de partí-
culas. Nesse caso, não é possível fatorar a função de partição em um produto de termos associados
a cada um dos estados de uma só partícula, uma vez que os nj s não são todos independentes uns
dos outros.
Nesse ponto, o formalismo grande canônico vem ao nosso socorro. A grande função de partição
se escreve como
Ξ (T, V, μ) = X∞
N=0
e
βμN Z (T, V, N) = X∞
N=0
e
βμN X
{nj }
0
e
−β
P
j nj j
.
Agora notamos que a soma dupla acima percorre todos os microestados {nj} compatíveis com um
certo N e em seguida percorre todos os valores de N. Mas isso é equivalente a percorrer, sem
restrição, todos os microestados {nj}. Portanto, podemos reescrever a última equação como
Ξ (T, V, μ) = X
{nj }
e
βμP
j nj−β
P
j nj j =
X
{nj }
e
β
P
j
(μ−j )nj
,
em que levamos em conta que, para um certo microestado {nj}, a soma de nj sobre todo j fornece
3Note que, no caso de partículas em uma caixa, e desprezando os graus de liberdade de spin, j representa na
realidade um vetor de onda ~k.
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o número de partículas naquele microestado. Essa última forma que obtivemos é fatorável, uma
vez que
Ξ (T, V, μ) = X
n1
X
n2
· · · e
β(μ−1)n1 e
β(μ−2)n2
· · · =
Y
j
X
nj
e
β(μ−j )nj
.
Portanto,
ln Ξ (T, V, μ) = X
j
ln
X
nj
e
β(μ−j )nj
.
Uma grandeza relevante
...