ATPS: Calculo de area. Método de integração por substituição de variáveis

CALCULO DE AREA

Talvez esta seja a mais óbvia aplicação para integrais o calculo de

A técnica de integração por substituição de variáveis tem o objetivo naturalmente de tornar a função mais simples para calculo da integral . Como a integral indefinida é a antiderivada , e aprendemos a regra da cadeia que se aplica para os casos de uma função de função, aqui faremos o processo inverso. Vejamos: dada uma função F(u) e u=g(x), aplicando-se a operação derivada, e usando a regra da cadeia, vem:

(dF(u))/dx=(dF(u))/du du/dx

Como u= g(x), podemos usando uma notação resumida (Fʹ(u) e gʹ(x), escrever:

Agora podemos integrar ambos os lados:

=∫▒d/dx F(g(x))dx = ∫▒〖Fʹ(g(x))gʹ(x)dx〗

O termo a esquerda é a integral de uma derivada, que são operações inversas, então:

F(g(x))+C = ∫▒〖Fʹ(g(x))gʹ(x)dx〗

Como Fʹ(g(x))= f(g(x)), vem:

= F(g(x))+C = ∫▒〖Fʹ(g(x))gʹ(x)dx〗 (2)

Voltando a variável u, e considerando que:

du =gʹ(x)dx (3)

Por fim, a integral toma forma:

F(u))+C= ∫▒f(u)du (4)

Comparando as equações (1), (2), (3), vemos que precisamos substituir a função, no caso g(x), por uma variável (u) de forma que gʹ(x)dx seja igual a du.

EXEMPLO:

Calcule a integral:

∫▒sen(2x)dx

Na tabela, encontramos a integral de sen(x),então a substituição mais evidente é

u= 2x e o diferencial de u é: du = 2dx então dx = du ̸ 2

Substituindo, na integral, vem:

=∫▒〖sen(2x)dx=ʃsen(2u) du/2〗=1/2 ∫▒〖sen(u)=(-1)/2〗 cos⁡(u)+C

F(x)=-1/2 cos⁡(2x)+C