ATPS De Cálculo Numérico

Sumário

Introdução ...........................................................................................................2

!.0 Cálculo numérico ...........................................................................................2

2.0 Àlgebra Linear ...............................................................................................3

2.1 Espaços Lineares, equações e afins.............................................................6

2.2 Álgebra Linear e Aplicações - Bom para maple V R5 .................................. 6

3.0 Solução numérica de equação linear ..........................................................13

31. Solução de equação não linear ..................................................................15

4.0 Erro .............................................................................................................17

4.1 Erro Absoluto ..............................................................................................17

4.2 Erro Poligono ..............................................................................................18

4.3 Erros de arredondamento/ Truncatura ........................................................18

4.4 Erros inerentes aos dados...........................................................................18

4.5 Erros na fase de modelagem ......................................................................18

4.6 Erros na fase de resolução .........................................................................19

5.0 Determinação das direções invariantes de uma matriz ..............................20

Bibliografia ........................................................................................................21

 

Introdução

Com o desenvolvimento da teoria quântica nas décadas de 1920 e 1930, o estudo de matrizes e álgebra linear tornou-se de grande importância. A determinação dos valores próprios de uma matriz tem merecido grande atenção, devido a sua grande aplicação aos diversos ramos das Ciências. A obtenção de uma solução numérica para um problema físico através da aplicação de métodos numéricos nem sempre nos dá valores de acordo com o pretendido.

Os problemas de matemática surgem ao se tentar explicar fenômenos da natureza e prever o seu comportamento futuro, procurando uma relação entre causa e efeito. Busca-se inicialmente, uma explicação para um fenômeno por meio de um modelo que estabeleça uma relação entre causas e efeitos, modelo esse que dá origem aos problemas de matemática como, por exemplo, sistemas de equações lineares

A álgebra linear ocupa lugar de destaque nas diversas área da matemática. Da analise a estatística, onde se utiliza constantemente, o cálculo matricial e vetorial. Por método numérico entende-se um método para calcular a solução de um problema realizando apenas uma seqüência finita de operações aritméticas. A diferença entre o valor obtido (aproximado) e o valor exato é designada por erro.

Já em cálculo numérico pretende-se, analisar a influência dos erros introduzidos nas aproximações construtivas desses problemas bem como a implementação computacional eficiente dos respectivos métodos de aproximação. É válido enfatizar, ainda, que a formulação e/ou construção de tais métodos numéricos é baseada em resultados matemáticos sólidos e, portanto, não são dependentes de uma linguagem de programação particular. o cálculo numérico também permite uma oportunidade de estabelecer conexões entre os aspectos abstratos do rigor matemático e suas aplicações com respeito à demanda da sociedade por soluções de desafios da vida cotidiana em seu curso natural.

Para encontrar a solução de um dado problema de matemática, existem vários métodos. Pretendemos dar uma noção aos utilizadores de métodos numéricos, sobre solução numérica de equação linear, álgebra linear, cálculo numérico e as fontes de erros para que se possam eliminar, ou pelo menos, controlar o seu valor.

1.0 CÁLCULO NUMÉRICO

Cálculo numérico é uma metodologia para resolver problemas matemáticos utilizando o computador. O Cálculo Numérico consiste na obtenção de soluções aproximadas de problemas de Álgebra Linear e Não-Linear, Estatística e Análise de Dados, Cálculo Diferencial e Integral e outros métodos matemáticos, utilizando métodos numéricos.

Podemos dividir a Matemática em duas partes, o cálculo numérico e o cálculo algébrico. O cálculo numérico envolve as operações da adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação, envolvendo os números reais. Os cálculos envolvendo frações, também são abordados e explorados de forma complexa.

O calculo algébrico está diretamente ligado às expressões algébricas, envolvendo equações, inequações e sistemas de equações. Nele, todos os fundamentos fixados no cálculo numérico são utilizados. Algumas situações envolvendo cálculo numérico serão resolvidas, abordando os conteúdos utilizados na demonstração.

Exemplo

{35 – [20 – (5 + 3²) : 2] + 40}

Temos uma expressão numérica envolvendo adição, subtração, divisão e potenciação. Nesse caso, vamos resolver primeiramente as potenciações/ e logo em seguida, devemos eliminar os símbolos na ordem: parênteses, colchete e chave.

{35 – [20 – (5 + 9) : 2] + 40}

{35 – [20 – 14 : 2] + 40}

{35 – [20 – 7] + 40}

{35 – 13 +40}

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2.0 ALGEBRA LINEAR

Algebra linear é o estudo de grandezas aditivas ou ’lineares’, e das relações entre elas. Alguns exemplos de grandezas lineares são:

Velocidades: