ATPS: Equações Governantes

A partir do sistema considerando, utilizando as equações de Lagrange, obtem-se as equações governantes do sistema. Para obter as equações dinâmicas do sistema, o sistema é considerando em duas situações distintas, no primeiro momento o sistema esta sem contato, portanto não há interação dos pêndulos com as massas, sendo assim as equações não possuem restrições ou vínculos, com a evolução do sistema a distancia entre os pêndulos e as massas diminuem ao passo que ocorre o evento de contato, onde novas equações são consideradas devido à restrição de movimento encontrada.

Equações Governantes

Pendulo 1;

T=1/2 I_(b〖cm〗_3 ) θ ̇_3+1/2 m_3 〖L_3〗^2 〖θ ̇_3〗^2+1/2 m_b3 〖L_cm3〗^2 〖θ ̇_3〗^2

V=m_3 g(L_3 (1-cos(θ_3 ))+m_b3 g(L_cm3 (1-cos(θ_3 ))

V=m_3 gL_3-m_3 gL_3 cos(θ_3 )+m_b3 gL_cm3-m_b3 gL_cm3 cos(θ_3 )

L=T-V

L= 1/2 I_(b〖cm〗_3 ) θ ̇_3+1/2 m_3 〖L_3〗^2 〖θ ̇_3〗^2+1/2 m_b3 〖L_cm3〗^2 〖θ ̇_3〗^2-(m_3 gL_3-m_3 gL_3 cos(θ_3 )+m_b3 gL_cm3-m_b3 gL_cm3 cos(θ_3 ))

d/dt (∂L/(∂θ ̇_3 ))-∂L/(∂θ_3 )+∂R/(∂θ ̇_3 )=M_(θ_3 )

∂L/(∂θ ̇_3 )=θ ̇_3 (I_(b〖cm〗_3 )+m_3 〖L_3〗^2+m_b3 〖L_cm3〗^2)

∂L/(∂θ_3 )= -m_3 gL_3 sen⁡〖θ_3-mgL_cm3 sen⁡〖θ_3 〗 〗

θ ̈_3 (I_(b〖cm〗_3 )+m_3 〖L_3〗^2+m_b3 〖L_cm3〗^2 )+m_3 gL_3 sen⁡〖θ_3+mgL_cm3 sen⁡〖θ_3 〗=〗 M_(θ_3 )

θ ̈_3=(M_(θ_3 )-m_3 gL_3 sen⁡〖θ_3-mgL_cm3 sen⁡〖θ_3 〗 〗)(1/(I_(b〖cm〗_3 )+m_3 〖L_3〗^2+m_b3 〖L_cm3〗^2 ))

 

Pendulo 2;

T=1/2 I_(b〖cm〗_4 ) θ ̇_4+1/2 m_4 〖L_4〗^2 〖θ ̇_4〗^2+1/2 m_b4 〖L_cm4〗^2 〖θ ̇_4〗^2

V=m_4 g(L_4 (1-cos(θ_4 ))+m_b4 g(L_cm4 (1-cos(θ_4 ))

V=m_4 gL_4-m_4 gL_4 cos(θ_4 )+m_b4 gL_cm4-m_b4 gL_cm4 cos(θ_4 )

L=T-V

L= 1/2 I_(b〖cm〗_4 ) θ ̇_4+1/2 m_4 〖L_4〗^2 〖θ ̇_4〗^2+1/2 m_b4 〖L_cm4〗^2 〖θ ̇_4〗^2-(m_4 gL_4-m_4 gL_4 cos(θ_4 )+m_b4 gL_cm4-m_b4 gL_cm4 cos(θ_4 ))

d/dt (∂L/(∂θ ̇_4 ))-∂L/(∂θ_4 )+∂R/(∂θ ̇_4 )=M_(θ_4 )

∂L/(∂θ ̇_4 )=θ ̇_4 (I_(b〖cm〗_4 )+m_4 〖L_4〗^2+m_b4 〖L_cm4〗^2)

∂L/(∂θ_4 )= -m_4 gL_4 sen⁡〖θ_4-mgL_cm4 sen⁡〖θ_4 〗 〗

θ ̈_4 (I_(b〖cm〗_4 )+m_4 〖L_4〗^2+m_b4 〖L_cm4〗^2 )+m_4 gL_4 sen⁡〖θ_4+mgL_cm4 sen⁡〖θ_4 〗=〗 M_(θ_4 )

θ ̈_4=(M_(θ_4 )-m_4 gL_4 sen⁡〖θ_4-mgL_cm4 sen⁡〖θ_4 〗 〗)(1/(I_(b〖cm〗_4 )+m_4 〖L_4〗^2+m_b4 〖L_cm4〗^2 ))

 

Massas;