ATPS – cálculo

ATPS – CÁLCULO

ETAPA 1

PASSO 1

Pesquisa do aplicativo Graphmatica.

PASSO 2

Barra de menus:

File (Arquivo): Fornece opções de arquivo como criar novo, abrir, salvar, salvar como, etc.

Edit (Editar): Alterações e edições de gráficos.

View (Ver): Alteração dos modos de visualização.

Options (Opções): Opções de papel de gráfico, grelhas, etc.

Tools (Ferramentas): Calcular coordenadas, intersecção, funções, cursor de coordenadas, especificar valores iniciais, especificar domínio.

Calculus (Calculos): Encontrar derivada, desenhar tangente, integrar, encontrar zeros e extremos.

Help (Ajuda): Ajuda sobre o programa.

Barra de Ferramentas:

[pic]

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A entrada de dados é feita na área editável das funções, que segue uma sintaxe e deve conter as variáveis, um sinal de igualdade ou desigualdade e uma expressão de cada lado do sinal.

A saída de dados é realizada na área de platogem do gráfico que possui o plano que pode ser de coordenadas cartesianas ou polares.

ETAPA 2

PASSO 1

-3≤q≤3

0≤q≤3

0≤q≤5

PASSO 2

-3≤q≤3 – raiz da função é 0 mínimo: x=0 e y=0, significa que sem investimento não há aumento da produção;

O ponto de cruzamento com P é onde a função zera, determina o fim do intervalo de decrescimento e o inicio do intervalo de crescimento.

0≤q≤3 – raiz da função é 0, função crescente.

0≤q≤5 – raiz da função é 0, função crescente.

PASSO 3

Não, como a variável independente se refere ao capital investido, não são aceitáveis valores negativos, portanto, o intervalo de decrescimento não é válido.

PASSO 4

Conclusões: Quanto maior for o investimento em equipamentos maior será a produtividade da empresa e que são aceitáveis apenas valores de domínio iguais ou maiores que 0.

ETAPA 3

PASSO 1

A taxa de variação, TV, é a razão entre a variação de y, Δy, e a variação de x, Δx. A TV representa o resultado da comparação entre as variações de y e de x. Graficamente é coeficiente angular da secante à curva nos pontos A e B.

TM ’ Δy/Δx

PASSO 2

• 2≤q≤3

• 3≤q≤4

• 4≤q≤5

PASSO 3

O calculo da taxa de variação é o mesmo que calcular a inclinação ou o coeficiente angular da reta secante nos pontos dados.

PASSO 4 e 5

Conclui-se que as várias taxas de variação mostram que a cada 1 milhão de reais investido pela empresa, sua produtividade em milhões de litros é multiplicada em 6 vezes.

ETAPA 4

PASSO 1

É uma variação tão infinitesimal quanto você queira, isto é, um valor que varia e se aproxima de zero. A variação infinitesimal de uma grandeza x é representada por dx. Consideremos uma função y = f(x) onde uma variação Dx acarreta uma variação Dy. Quando a variação Dx torna-se infinitesimal dx, a variação Dy também assume valores infinitesimais dy. A taxa de variação instantânea é:

TV = dy /dx

A TV instantânea pode ser avaliada pela inclinação da tangente à curva do gráfico da função.

PASSO 2

P’(q) = lim P(q + h )-P(q) → P’(1) = lim 3.(1 + 0,1)² - 3.(1)² → P’(1) = 3,63 – 3 → P’(1) = 6,3 l/R$

h→0,1 h h→0,1 0,1 0,1

P’(q) = lim P(q + h )-P(q) → P’(1) = lim 3.(1 + 0,01)² - 3.(1)² → P’(1) = 3,0603 – 3 → P’(1) = 6,03 l/R$

h→0,01 h h→0,01 0,01 0,01

P’(q) = lim P(q + h )-P(q) → P’(1) = lim 3.(1 + 0,001)² - 3.(1)² → P’(1) = 3,006003 – 3 → P’(1) = 6,003 l/R$

h→0,001 h h→0,001 0,001 0,001

Taxa de variação instantânea = 6,00 l/R$.

PASSO 3

A derivada é 6,00 e sua unidade de medida é litros por real.

Tal valor indica a taxa com que varia a produção (em milhões) de litros quando o capital investido é 1 (milhão) de R$. Também podemos dizer que uma pequena variação em q, próximo de q = 1, acarreta uma variação 6 vezes maior em P, próximo a P = 3. Graficamente representa a inclinação da reta tangente à curva da receita no ponto Q = (1; P(1)) = (1; 3).

PASSO 4

Sabemos que tal reta passa pelo ponto Q = (1; 3) e, em sua equação y = b + m . x, o coeficiente m representa sua inclinação. Tal inclinação é dada pela derivada no ponto q = 1:

m = P'(1) = 6

Substituindo tal valor na equação da reta, temos:

y = b + 6x

Nessa equação, para encontrar o valor de b, basta substituir em x e y as coordenadas do ponto Q = (1; 3) por onde passa a reta:

3 = b + 6 . 1

b = -3

Assim,