Aplicação da integral de linha
Por: Weverton Cajado • 26/9/2015 • Trabalho acadêmico • 1.759 Palavras (8 Páginas) • 2.265 Visualizações
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
FACET-FACULDADE DE CIÊNCIAS EXÁTAS E TECNOLOGICAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
WEVERTON RODRIGUES CAJADO
APLICAÇÃO DA INTEGRAL DE LINHA
SINOP-MT
2014
Introdução
Há várias maneiras de usar as integrais de linha, como por exemplo resolver problemas envolvendo escoamento de líquidos, forças, eletricidade e magnetismo. As integrais de linha não são integradas sobre um intervalo mas sim sobre curvas, sendo assim é possível calcular qual o campo elétrico à algum ponto qualquer, pois um campo elétrico é um campo vetorial formado por uma distribuição de vetores. Portanto para calcular (usando as integrais de linha) irá envolver campo elétrico devido a uma Carga Pontual, a um Dipolo Elétrico e a uma Linha de Carga.[pic 1][pic 2]
1.1 Campo Elétrico
Uma maneira de interpretar a interação eletromagnética das duas cargas q e q0, é pensar que a carga q gera no espaço ao seu redor um campo elétrico .[pic 3]
[pic 4] Fig. 1.1[pic 5]
= (campo elétrico) (1.1)[pic 6][pic 7]
1.2 Campo Elétrico devido uma Carga pontual
Para determinar o campo elétrico de uma carga pontual q em qualquer ponto a uma distância r, o campo é simplesmente dado pela Lei de Coulomb:
= [pic 8][pic 9]
A intensidade do vetor campo elétrico, pela Eq. 1.1, é:
= [pic 10][pic 11]
= . [pic 12][pic 13][pic 14]
= (carga pontual) (1.2) [pic 15][pic 16]
1.3 Campo Elétrico devido a um Dipolo Elétrico
A Fig. 1.2 mostra duas partículas, sendo uma delas de carga +q e a outra de carga -q, separadas de uma distâcia d.[pic 17]
[pic 18]Fig. 1.2
Para P distante do dipolo, e para aproximarmos E a grandes distâncias, podemos desprezar o termo da Eq. 1.3 , e obtemos:[pic 19]
E = (1.4)[pic 20]
O produto qd é a intensidade p de uma grandeza vetorial conhecida como o momento de dipolo elétrico do dipolo. Assim é possível escrever a Eq. 1.4 como:[pic 21]
E = (1.5)[pic 22]
1.4 Campo Elétrico devido a uma Linha de Carga
Até aqui foi considerado o campo elétrico produzido por uma ou algumas cargas pontuais. Agora considere uma grande quantidade de cargas pontuais distribuídos ao longo de uma linha, sobre uma superfície ou interior de um volume. Como estas distribuições podem ter um grande número de cargas pontuais, os campos elétricos é determinado por meio de cálculo integral (integral de linha), em vez de considerar as cargas uma a uma.
Como estamos lidando com cargas contínuas, é mais fácil expressar a carga sobre um objeto como uma densidade de carga em vez de usar uma carga total. Por exemplo para uma carga de linha é usado a densidade linear de carga (unidade no SI é o coulomb por metro).[pic 23]
[pic 24]Fig. 1.3[pic 25]
Seja ds comprimento do arco. Como é a carga de comprimento, temos uma intensidade de carga:[pic 26]
dq = ds (1.6)[pic 27]
Essa carga diferencial pode ser tratada como uma carga pontual e cria um campo elétrico d no ponto P, usando a Eq. 1.6 é possível reescrever a Eq. 1.2 para expressar a intensidade d como:[pic 28][pic 29]
d = = (1.7)[pic 30][pic 31][pic 32]
Da Fig. 1.3, é possível reescrever a Eq. 1.7 como:
d = (1.8)[pic 33][pic 34]
A Fig. 1.3 mostra que d forma um ângulo com o eixo central. A componente paralela de d na fig. 1.3 possui intensidade dE cos. A figura nos mostra que:[pic 35][pic 36][pic 37][pic 38]
cos = = (1.9)[pic 39][pic 40][pic 41]
Então as Eqs. 1.8 e 1.9, fornecem para a componente paralela de d:[pic 42]
dE cos = ds (1.10)[pic 43][pic 44]
O campo elétrico total é dado somando a contribuição de todos os elementos. Integramos a Eq. 1.10 ao redor da circunferência do anel, de 0 , como a única grandeza que varia na integração é s, as outras grandezas podem ser colocadas fora da integral. Por simetria, o campo deve apontar na direção z, pois contribuições na direção radial se cancelam em pares simetricamente opostos. Por fim temos:[pic 45]
E = = [pic 46][pic 47][pic 48]
E = (1.11)[pic 49]
...