As Equações Diferenciais de 1º Ordem

Equações Diferenciais de 1º Ordem

dy/dt =F(t,y) (1)

Sendo F(x,y) uma função definida em aberto Ω do R2

Método dos Fatores Integrantes

Se a função na equação (1) depender linearmente da variável dependente y, então ela é dita uma equação linear de primeira ordem.

dy/dt = -ay+b (2)

em que a e bsão constantes dadas. Substituindo a e b por funções arbitrárias de t temos a equação linear de primeira ordem geral na forma padrão

dy/dt +p(t)y=g(t) (3)

em que p e g são funções dadas da variável independente t. Algumas vezes é mais conveniente escrever a equação na forma

P(t)dy/dt +Q(t)y=G(t) (4)

Exemplo 1

Encontre a solução geral da equação diferencial dy/dt -2y=4-t .

Sendo a = -2 e fator integrante é μ(t) = eat

e-2tdy/dt - 2e-2ty = 4e-2t -te-2t

d/dt(e-2ty)=4e-2t -te-2t

Integrando a última equação

e-2ty=-2e-2t +0,5te-2t+0,25e-2t+c

Logo, a solução geral é

y= -1,75+0,5 t+ce2t

Exemplo 2

Mostre que a equação dy/dx = x2/1-y2 é separável.

-x2+ (1-y2)dy/dx =0

d/dx(y-y3/3)=(1-y2)dy/dx

d/dx(-x3/3) + d/dx(y-y3/3)=0

d/dx(-x3/3 +y-y3/3)=0

-x3+3y-y3=c

A Transformada de Laplace

Seja f(t)uma função definida nos reais não negativos.

ℒ{f(t)}=∫ f(t)e-stdt, ‘ (1)

sendo os limites de integração 0e ∞. Quando a integral acima for convergente, ela será chamada de transformada de Laplace da função f(t).

Exemplo 1

Calcular a transformada de Laplace da função f(t)=1

O limite só existe se s>0, portanto

Exemplo 2

A transformada de Laplace da função f(t)=sen(wt).

Resolvendo essa equação obtemos

Figura 1- TABELA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Transformada Inversa de Laplace

Se F(s)=ℒ{f(t)} é a transformada de Laplace de f(t), então dizemos que

f(t)=ℒ-1{F(s)} é a transformada inversa de Laplace da função F(s). Essa definição só faz sentido se a transformação definida no conjunto de funções que possuem transformada de Laplace f(t) está relacionada a uma única transformada F(s).

Exemplo 1

A transformada inversa da função F(s)=5/5+s2.

Na linha 6 da tabela da Fig.1 podemos ver que o modelo das funções são igual.

ℒ-1{5/25+s2)=sen(5t)

Exemplo 2

A transformada inversa de laplace F(s)=1/s30.

ℒ-1{1/s30)=t29/29!

Transformada de Fourier

A transformada de Fourier de uma função f(x) é definida como:

e a transformada inversa, que recupera a função original é definida como:

onde Wxé a freqüência angular, e i=⎷-1.

Para cada freqüência Wx , integramos a função f(x) sobre todos os valores da coordenada x. Se o valor da integral for grande para esta freqüência, então o sinal tem uma componente significativa nesta freqüência, isto é, uma parte significativa deste sinal é composto por esta freqüência.

Podemos também definir:

e a transformada inversa, que recupera a função original é definida como :

onde V=2𝛑Wxé a frequência linear.

Exemplo 1

Calcular

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