Geometria De Massas
Artigos Científicos: Geometria De Massas. Pesquise 860.000+ trabalhos acadêmicosPor: geisonsml20 • 13/10/2014 • 1.790 Palavras (8 Páginas) • 362 Visualizações
Centro de massa
As forças infinitesimais, resultantes da atracção da terra, dos elementos
infinitesimais DP1, DP2, DP3, etc., são dirigidas para o centro da terra, mas por
simplificação são sempre consideradas paralelas.
XG
YG
x
Z Y dA
dP
dP
P
Para se obter a localização do ponto G, centróide, utiliza-se o teorema de
Varignon.
(“o momento em relação a um ponto O da resultante de várias forças concorrentes
é igual à soma dos momentos das diversas forças em relação ao mesmo ponto O”).
Os momentos de P relativamente aos eixos “y”, “x”, são iguais às somas dos
momentos de cada força infinitesimal, relativamente aos respectivos eixos.
: . 1* 1 2 * 2
: . 1* 1 2* 2
Mx y P y P y P
My x P x P x P
= D + D
= D + D
Σ
Σ
No limite em que o número de elementos tende para infinito, ou seja a dimensão
de cada elemento é muito pequena, a força total será dada por:
= ∫
corpo
P dP
= ∫ = ∫
corpo
G
corpo
G a) x P xdP b) y P ydP
No caso de corpos lineares, (arames), será de realçar o facto de eventualmente o
centro de massa não se situar sobre o corpo.
6.2- Centróide – centro geométrico
No caso de um corpo homogéneo com características geométricas constantes,
nomeadamente uma placa com espessura constante, tem-se que:
DP = reDA
com r a massa especifica do corpo, e a espessura e DA a área infinitesimal.
Somando todos os elementos infinitesimais temos:
P = reA
substituindo a expressão em a) e b);
A
ydA
y
A
xdA
x
corpo
G
corpo
G
∫
∫
=
=
Válidas apenas para corpos com massa
específica constante e espessura constante
Se a placa for constituída por dois diferentes materiais, então o centróide pode não
coincidir com o centro de massa.
Para o caso de arames homogéneos de secção transversal uniforme, pode-se
escrever;
DP = raDL
em “a” é a área da secção e DL comprimento o elemento
L
ydL
y
L
xdL
x corpo
G
corpo
G
∫ ∫
= =
6.3- Momentos de primeira ordem (momentos estáticos) de superfícies e curvas
O integral ∫
A
xdA é conhecido pelo momento de primeira ordem da superfície em
relação ao eixo “y”, e ∫
A
ydA em relação ao eixo “x”.
= ∫ = ∫
A A
Qx ydA Qy xdA
Estes parâmetros geométricos serão considerados para o cálculo de tensões de
corte em vigas (resistência do materiais).
6.4- Simetria material
Ponto, eixo ou plano, que é de simetria geométrica e cujos partes
geometricamente simétricas têm massas específicas iguais.
6.5- Simetria geométrica
Existe simetria geométrica sse a um
ponto P corresponde um ponto P’ tal que o
segmento PP´seja ortogonal ao elemento
“espelho”.
Desta forma:
- um corpo que possua simetria geométrica terá o centróide no elemento
espelho.
- Um corpo que possua simetria material terá o centro de massa no elemento
espelho.
6.6- Corpos compostos
Tendo um corpo complexo, é possível decompor o mesmo num conjunto de corpos
mais simples em que seja conhecida a localização do centróide e/ou centro de massa.
Pela aplicação do teorema de Varignon e decompondo um meio contínuo em
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