Geometria analatica e algebra linear
Por: Victoria Reis • 17/11/2015 • Resenha • 2.025 Palavras (9 Páginas) • 346 Visualizações
[pic 1]
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TRABALHO DE GEOMETRIA ANALÍTICA
E ALGEBRA LINEAR
Trabalho apresentado à disciplina ministrado pelo prof. Elton Barreto,
da ULBRA.
PORTO ALEGRE
2015
INTRODUÇÃO
O trabalho apresentado a esta disciplina, mostrará assuntos estudados em aula. Apresentará definições de cada elemento, exemplos dos mesmos e imagens. Por fim mostrará claramente como cada um é calculado e uma breve conclusão do assunto, acompanhado das referências.
CIRCUNFERÊNCIA
É a curva plana fechada, cujos pontos são equidistantes de um ponto interior chamada centro.
Consideramos a circunferência de raio R, cujo centro é o ponto C ([pic 3]
Seja P(x,y) um ponto dessa circunferência.
A distância é o raio da circunferência assim como a distância de qualquer ponto ao centro da circunferência.[pic 4]
[pic 5]
Então:
= R = [pic 6][pic 7]
ou (x )² + (y )² = R² (1°)[pic 8][pic 9][pic 10]
Que é a formula que nos permite determinar a equação da circunferência de uma circunferência de centro ( e raio R.[pic 11][pic 12]
Podemos observar que se o centro da circunferência é a origem do sistema a formula reduz- se a: x²+y² = R² pois e são iguais a zero.[pic 13][pic 14]
- Equação do 2° grau representativa de uma circunferência:
Seja a equação do 2° de variáveis x e y:
A+B+ Cxy + Dx + Ey + F = 0 (2°)[pic 15][pic 16]
Se desenvolvemos a 1° formula, obtemos:
+ ² + y² [pic 17][pic 18][pic 19]
[pic 20]
(3°)[pic 21]
A 2° equação se transforma na 3° quando:
A= 1 C = 0 E= -2y_0
B = 1 D = F= (4°)[pic 22][pic 23]
- Coordenadas do centro de uma circunferência:
Pelas igualdades da 4°, temos: D = e E = [pic 24][pic 25]
onde: e (5°)[pic 26][pic 27]
Que são as fórmulas que nos permitem calcular as coordenadas do centro de uma circunferência sendo conhecida a equação dessa circunferência.
- Raio de uma circunferência: Pelas igualdades da 4°, temos:
F ou: e: (6°) que é a formula do raio de uma circunferência, sendo conhecido as coordenadas do centro e a equação.[pic 28][pic 29][pic 30]
Exemplos: 1)Determinar a equação da circunferência de centro (4, -1) e raio 7.
Temos Utilizando a 1° formula, obtemos:[pic 31]
[pic 32]
[pic 33]
[pic 34]
2)Determinar as coordenadas do centro da circunferência:
[pic 35]
Temos: D = e E = 2 Utilizando a formula 5°, obtemos: [pic 36]
[pic 37][pic 38]
3)Calcular as coordenadas do centro e o raio da circunferência:
[pic 39]
Temos: D = 8, E = e F = 11 então: [pic 40][pic 41][pic 42]
R = R = R = R = 3[pic 43][pic 44][pic 45]
4)Determinar a equação da circunferência de centro na origem e raio 8.
Temos: e R = 8 então:[pic 46][pic 47]
ou [pic 48][pic 49][pic 50]
- Circunferência definida por três pontos:
Considerando uma circunferência de centro C e raio R.[pic 51]
Sejam: , e pontos dessa circunferência.[pic 52][pic 53][pic 54]
Esses pontos satisfazem a equação da circunferência, ou seja:[pic 55]
[pic 56]
[pic 57]
[pic 58]
Resolvendo o sistema, determinamos os valores de [pic 59]
Exemplo: Determinar a equação da circunferência que passa pelos pontos: [pic 60]
Temos: [pic 61]
O sistema fica: (1°)[pic 62]
(2°)[pic 63]
(3°)[pic 64]
Comparemos a 1° com a 2°:
[pic 65]
[pic 66]
[pic 67]
[pic 68]
Comparemos a 2° com a 3°:
[pic 69]
[pic 70]
[pic 71]
Substituindo o valor de na 4°, vem: [pic 72][pic 73]
Já determinamos as coordenadas do centro. Utilizemos a 1° para calcularmos R.
[pic 74]
Como equação da circunferência é:
[pic 75]
[pic 76]
[pic 77]
[pic 78]
- Intersecção de uma reta com uma circunferência: Sejam as equações de uma reta R e de uma circunferência.
[pic 79]
Os pontos de intersecção da reta R com a circunferência são as soluções do sistema do 2° grau.
Como um sistema do 2° grau tem duas soluções distintas, duas iguais ou nenhuma solução, a reta R será respectivamente secante, tangente ou externa à circunferência.
Considerando três situações: O sistema admite duas raízes distintas.A reta tem dois pontos em comum com a circunferência.R é secante a circunferência.
O sistema admite duas raízes iguais.A reta R tem um ponto em comum com a circunferência.R é tangente à circunferência.O sistema não admite raízes reais.
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