Integral Por Partes

Etapa2

Integral Por Partes

No cálculo integral, integração por partes é um método que permite expressar a integral de um produto de funções em outra integral. A integração por partes pode ser vista como uma versão integrada da regra do produto.

A fórmula típica é a seguinte, onde e são funções de classe C1 no intervalo , ou seja, são diferenciáveis e suas derivadas são contínuas entre a e b.

A fórmula canônica é dada pela seguinte expressão:

Ou, ainda, de forma mais enxuta:

Exemplos

Algumas antiderivadas são facilmente obtidas via integração por partes, então vejamos alguns exemplos:

Onde se escolheu e

Mediante e

Demonstração

Uma demonstração simples pode ser obtida através da regra do produto

Integrando esta expressão entra a e b, temos:

Concluímos a demonstração, através do teorema fundamental do cálculo:

.

A Integração por Partes é, basicamente, a volta da Regra do Produto para derivadas. Assim, vamos retomá-la. Se quisermos diferenciar uma função do tipo

f(x)g(x),

Fazemos

ddx[f(x)g(x)]=f(x)g'(x)+g(x)f'(x).

Mas daí temos que f(x)g'(x)+f'(x)g(x) é uma primitiva para f(x)g(x). Assim, podemos reescrever a fórmula acima em termos de integral indefinida como.

∫f(x)g'(x)+g(x)f'(x)dx=f(x)g(x)+C.

.

Separando a soma e reorganizando os termos obtemos

∫f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-∫g(x)f'(x)dx.

que é a fórmula para a Integração por Partes. A constante C pode ser omitida na linha anterior, pois fica embutida na integral ∫f'(x)g(x)dx.

Uma maneira mais usual de escrever a fórmula de Integração por partes é utilizar a notação diferencial e fazer

u=f(x), du=f'(x)dx e

v=g(x), dv=g'(x)dx,

daí, obtemos a versão mais difundida da Integração por Partes, como mostra o quadro abaixo.

Fórmula para a Integração por Partes

∫udv=uv-∫vdu.

Observação: Note que a Integração por Partes não resolve imediatamente a integral ∫udv, pois é preciso calcular a integral ∫vdu para obter uma resposta sem integrais. O grande objetivo da Integração por Partes é trocar uma integral mais difícil de resolver por uma mais fácil.

Para calcular a integral, ∫xexdx, citada como exemplo no início deste texto, utilizando a fórmula acima, precisou encontrar cada parte que vemos na fórmula, ou seja, u, du, v e dv. Para isso vamos seguir um passo a passo.

Passo 1: Identificar u e dv.

O primeiro passo sempre é esse, pois u e dv são sempre encontrados na integral que se quer calcular. Neste caso, u=x e dv=exdx.

Passo 2: Calcular du e v.

Para calcular du, basta derivar u: u=x→du=dx.

Para calcular v, fazemos o raciocínio oposto, ou seja, integramos dv: dv=exdx→v=∫exdx=ex. (A constante de integração pode ser omitida!)

Passo 3: Aplicar a fórmula de Integração por Partes e calcular a integral resultante.

Nos passos anteriores, obtemos u=x, du=dx, dv=exdx e v=ex. Aplicando a fórmula ∫udv=uv-∫vdu, temos

∫xexdx=xex-∫exdx=xex-ex+C.

Note que a integral resultante ∫exdx foi facilmente calculada.

A grande dificuldade da Integração por Partes é o passo 1. Como identificar corretamente u e dv? E se, no exemplo anterior, tivéssemos escolhido u=ex edv=xdx? Será que teríamos trocado uma integral mais difícil por uma mais fácil? Faça o teste e convença-se que não.

Mas como saber qual é a escolha adequada? Essa pergunta não possui uma regra geral como resposta. Temos sempre que ter como objetivo obter uma integral mais fácil de calcular. Se fizemos uma escolha e a integral obtida no passo 3, não ficar mais fácil que a primeira, podemos trocar nossa escolha do passo 1 e refazer os seguintes. Usualmente a prática faz com que façamos escolhas melhores já na primeira tentativa, mas há uma dica que pode ser seguida se você ainda não tem muita experiência no cálculo de integrais: siga o acrônimo LIATE.

O LIATE pode ser utilizado quando o integrando for um produto de duas funções de categorias distintas da lista

Logarítmica, trigonométrica Inversa, Algébrica, Trigonométrica, Exponencial,

e indica uma ordem para a escolha de u, ou seja, escolhemos para u a função do tipo que ocorre antes na lista acima e para dv o restante do integrando. No exemplo anterior x é uma função algébrica e ex é uma função exponencial, se seguirmos o acrônimo LIATE, temos que escolher u=x, pois a função algébrica aparece antes da exponencial, exatamente como fizemos no exemplo. Ainda, é importante salientar que essa regra não vale sempre, mas o bastante para ser útil.

É importante salientar que, embora motivada por integrais de produtos, a Integração por Partes funciona para calcular integrais de algumas funções que não sejam produtos, escolhendo dv=dx. É dessa forma que iremos calcular a integral da função logarítmica

∫lnxdx.

Passo 1: Identificar u e dv.

Escohemos u=lnx e dv=dx.

Passo 2: Calcular du e v.

Para calcular du, basta derivar u: u=lnx→du=1xdx.

Para