Métodos de resolução de equações com duas incógnitas 1 º grau

Para encontrarmos numa equação de 1º grau com duas incógnitas, por exemplo,

4x + 3y = 0, os valores de x e de y é preciso relacionar essa equação com outra ou outras com as mesmas incógnitas. Essa relação é chamada de sistema.

Um sistema de equação de 1º grau com duas incógnitas é formado por: duas equações de 1º grau com duas incógnitas diferentes em cada equação. Veja um exemplo:

Para encontramos o par ordenado solução desse sistema é preciso utilizar dois métodos para a sua solução.

Esses dois métodos são: Substituição e Adição.

Método da substituição

Esse método consiste em escolher uma das duas equações, isolar uma das incógnitas e substituir na outra equação, veja como:

Dado o sistema , enumeramos as equações.

Escolhemos a equação 1 e isolamos o x:

x + y = 20

x = 20 – y

Agora na equação 2 substituímos o valor de x = 20 – y.

3x + 4 y = 72

3 (20 – y) + 4y = 72

60-3y + 4y = 72

-3y + 4y = 72 – 60

y = 12

Descobrimos o valor de y, para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equação

x = 20 – y.

x = 20 – y

x = 20 – 12

x = 8

Portanto, a solução do sistema é S = (8, 12)

Método da adição

Esse método consiste em adicionar as duas equações de tal forma que a soma de uma das incógnitas seja zero. Para que isso aconteça será preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equações ou apenas uma equação por números inteiros para que a soma de uma das incógnitas seja zero.

Dado o sistema:

Para adicionarmos as duas equações e a soma de uma das incógnitas de zero, teremos que multiplicar a primeira equação por – 3.

Agora, o sistema fica assim:

Adicionando as duas equações:

- 3x – 3y = - 60

+ 3x + 4y = 72

y = 12

Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equações e substituir o valor de y encontrado:

x + y = 20

x + 12 = 20

x = 20 – 12

x = 8

Portanto, a solução desse sistema é: S = (8, 12).

Se resolver um sistema utilizando qualquer um dois métodos o valor da solução será sempre o mesmo.

Exemplo 1

A população de uma cidade A é três vezes maior que a população da cidade B. Somando a população das duas cidades temos o total de 200.000 habitantes. Qual a população da cidade A?

Indicaremos a população das cidades por uma incógnita (letra que representará um valor desconhecido).

Cidade A = x

Cidade B = y

x = 3y

x + y = 200 000

Substituindo x = 3y

x + y = 200 000

3y + y = 200 000

4y = 200 000

y = 200 000/4

y = 50 000

x = 3y , substituindo y = 50 000

Temos

x = 3 * 50 000

x = 150 000

População da cidade A = 150 000 habitantes

População da cidade B = 50 000 habitantes

Exemplo 2

Cláudio usou apenas notas de R$ 20,00 e de R$ 5,00 para fazer um pagamento de R$ 140,00. Quantas notas de cada tipo ele usou, sabendo que no total foram 10 notas?

x notas de 20 reais y notas de 5 reais

Equação do número de notas: x + y = 10

Equação da quantidade e valor das notas: 20x + 5y = 140

x + y = 10

20x + 5y = 140

Aplicar método da substituição

Isolando x na 1ª equação

x + y = 10

x = 10 - y

Substituindo o valor de x na 2ª equação

20x + 5y = 140

20(10 – y) + 5y = 140

200 – 20y + 5y = 140

- 15y = 140 – 200

- 15y = - 60 (multiplicar por -1)

15y = 60

y = 60/15

y = 4

Substituindo y = 4

x = 10 – 4

x = 6

Exemplo 3

Num aquário há 8 peixes, entre pequenos e grandes. Se os pequenos fossem