Regras de Derivação

Capitulo 07 (resumo)

Regras de Derivação

No capítulo anterior, para algumas funções onde era dada a expressão Algébrica que a definia, obtivemos a função derivada a partir da definição.

Por exemplo, dada f(x) = x2 obtivemos a função derivada f (x) = 2x a partir da determinação do limite f (x) =lim/(h→0) (f(x+b)- f(x))/h

Notamos que, muitas vezes, o processo de determinação da função derivada é trabalhoso e, por isso, é interessante trabalhar com técnicas que permitam a determinação rápida da derivada. Nesta seção, estudaremos as principais regras de derivação necessárias para a obtenção das derivadas de maneira rápida e simplificada. Abordaremos apenas as regras necessárias para a derivação das funções abordadas em nosso curso.

Salientamos que nossa preocupação principal é apresentar as regras de maneira simplificada, deixando de lado as demonstrações e justificativas da validade de tais regras. Sugerimos ao leitor interessado nas demonstrações de tais regras a consulta de livros de cálculo indicados na bibliografia, em especial Cálculo — Volume l, de James Stewart, onde constam as demonstrações de todas as regras apresentadas a seguir.

Entre os exemplos de aplicação para cada regra apresenta, procuramos utilizar funções já desenvolvidas nos capítulos anteriores

Função Constante

Seja a função

f(x) = k

Onde k é uma constante; então, sua derivada será

f (x) =0

de modo simplificado

y = k → y = 0 (k é constante)

Exemplo: Derive

a) y = 7 b) i(x) = 10

Solução:

a ) y = 7→ y' = O b) i(x) = 10 →i(x) = O

Função do 1- Grau

Seja a função do 1a grau

f(x) = m • x + b

Então, sua derivada será

f (x) = m

De modo simplificado

y = m • x + b→ y =m

Exemplo: Derive

a) f(x) = 3x + 5 b)q = -2p+10 c) j= 500n d)y=x

Solução:

a) f(x) = 3x + 5 => f (x) = 3

b) q = -2p + 10 => q' = -2

c) J = 500n = j500n

d)y =x →y´=1

Constante Multiplicando Função

Seja a função f(x) obtida pela multiplicação da função u(x) pela constante k

f(x) = k • u(x)

Sendo u(x) derivável, então a derivada de f(x) será

f (x) = k • u'(x)

De modo simplificado

y = k • u => y' = k • u' (k é constante)

Na função y = k • u para a obtenção de y', a constante k "espera" a determinação de u

Podemos dizer que a "derivada de uma 'constante vezes uma função'"

é a "constante vezes a 'derivada da função'".

Exemplo: Dada f(x) = 7 • u(x), onde u(x) = 3x + 5, obtenha f (x).

Solução:

Se f(x) = 7 • u(x), então f (x) = 7 • u'(x).

Para u(x) = 3x +5, temos u'(x) = 3, assim

f (x) = 7 • u'(x) = 7-3 = 21

Logo, f (x) = 21.

Podemos confirmar a validade do resultado realizando primeiramente a multiplicação indicada para obter f(x) e, em seguida, derivar tal função:

f(x) = 7 • u(x) => f(x) = 7 • (3x + 5) => f(x) = 21x + 35 => f (x) = 21

Soma ou Diferença de Funções

Seja a função f(x) obtida pela soma das funções u(x) e v(x)

f(x) = u(x) + v(x)

sendo u(x) e v(x) deriváveis então a derivada de f(x) será

f'(x) = u (x) + v'(x)

De modo simplificado

y = u + v => y' = u' + v'

Procedemos de modo análogo para a diferença das funções u(x) e v(x)

f(x) = u(x) - v(x)

Sendo u(x) e v (x) deriváveis, então a derivada de f(x) será

f (x) = u'(x) - v'(x)

De modo simplificado

y = u - v =t- y' = u' - v'

Podemos dizer que a "derivada de uma 'soma/diferença de funções'" é a "soma/diferença das 'derivadas das funções'".

Exemplo: Dada f(x) = u(x) + v (x), onde u(x) = 3x + 5 e v (x) = 7x + 15, obtenha

f (x).

Solução:

Se f(x) = u(x) + f (x), então f'(x) = u'(x) + v'(x).

Se u(x) = 3x + 5, então u'(x) = 3 e, se v(x) - 7x + 15, então v'(x) = 7,

assim

f'(x) = u'(x) + v'(x) = 3 + 7=10

Logo,

...