Relatório Pendulo Físico

1 INTRODUÇÃO

Quando um corpo está em um movimento oscilatório e, a partir de um certo momento,

passa a repetir essa trajetória, pode-se dizer que o movimento realizado é periódico. O pêndulo

representa uma classe de movimento oscilatório, onde a força responsável pelo seu movimento é

a força gravitacional. Esse pêndulo pode ser classificado como simples e fı́sicos. No entanto

grande parte dos pêndulos reais são fı́sicos, visto que os simples estão sujeitos a condições

quase ideais. O pêndulo fı́sico se trata de um corpo rı́gido de massa M, que é suspenso por

um eixo horizontal que o atravessa, em torno do qual o corpo pode girar. Quando se está na

posição de equilı́brio, o eixo que o suspende (O) e o centro de massa (CM) do corpo estão na

mesma linha vertical. A distância entre o eixo e o centro de massa é chamada de D. Quando

esse corpo é sutilmente afastado, por um pequeno desvio angular, da sua posição de equilı́brio

na vertical e é liberado, o pêndulo passa a realizar um movimento oscilatório em torno dessa

posição, conduzido pelo torque restaurador exercido pela força peso do próprio corpo.

−

→

−τ = →

−r × →

F

(1.1)

τ = −rFsen θ

(1.2)

τ = −MgDsen θ

(1.3)

Logo:

O sinal negativo indica que o torque é sempre contrário ao desvio angular. Por isso o torque é

chamado de “restaurador”, pois ele atua no sentido de restaurar o estado de equilı́brio.

Sabe-se também que, no movimento de rotação, o torque é dado por:

τ = Iα

(1.4)

Onde I é o momento de inércia e α é a aceleração angular. A partir das equações 1.3 e 1.4,

pode-se deduzir a equação do movimento como:

I

d2θ

= −mg × Dsen θ

dt 2

(1.5)

Porém, essa equação possui a seguinte forma homogênea linearizada quando a amplitude angular

do movimento for pequena o suficiente para que seja válida a aproximação: sen θ ∼

= θ:

d 2 θ MgD

+

θ=0

dt 2

I

(1.6)

Tal equação define a frequência angular das oscilações do pêndulo fı́sico:

r

r

MgD

MgD

2π

MgD

2

ω =

⇒ ω=

⇒

=

I

I

T

I

Invertendo a equação tem-se:

T

=

2π

s

I

⇒ T = 2π

MgD

s

I

MgD

(1.7)

Partindo da equação anterior, tem-se:

T 2 mgD

I0 =

4π2

(1.8)

Sendo g a aceleração da gravidade, D a distância entre o eixo e o centro de massa, M a massa do

corpo, e I o momento de inércia deste corpo.

O momento de inércia é uma grandeza associada à inércia de rotação. Assim como

em um movimento de translação de um corpo qualquer, o mesmo apresenta uma tendência em

permanecer em seu estado inicial, em um movimento de rotação acontecerá o mesmo. Esta

resistência à mudança na velocidade angular de um corpo, é conhecida como momento de ińércia.

Quando um corpo rı́gido contém um número muito grande de partı́culas (sistema contı́nuo),

como no caso de uma barra e um disco, utiliza-se do cálculo integral para calcular seu momento

de inércia.

O momento de inércia de um sistema de partı́culas contı́nuo é dado pela expressão:

Z

I=

r2 dm

(1.9)

2 OBJETIVOS

Estudar o movimento de um pêndulo fı́sico e obter:

- Os momentos de inércia de uma barra retangular para dois pontos fixos diferentes;

- O momento de inércia de um disco, cujo centro de