Teorema Fundamental do Calculo Para Integrais de Linha

Universidade do estado do amazonas

Escola superior de tecnologia

Calculo III

Teorema fundamental do calculo para integrais de linha

Caio Rafael

Klisma Menezes

Rubens Junior

Nicolas Augusto

João Paulo

Ariel Amzalak

Manaus – AM

2016

Fundamentação teórica

Teorema Fundamental do Cálculo

Teorema Fundamental do Cálculo pode ser escrito como

 (1)[pic 1]

onde F' é continua em (a, b). A Equação 1 também é chamada Teorema da Variação Total: a integral da taxa de variação é a variação total.

Se consideramos o vetor gradiente ⍢f da função de duas ou três variáveis como uma espécie de derivada df, então o teorema seguinte pode ser considerado uma versão do Teorema Fundamental do Cálculo para as integrais de linha.

(2) Teorema. Seja C uma curva lisa dada pela função vetorial r(t), a ≤ t ≤ b. Seja 𝑓 uma função diferençável de duas ou três variáveis cujo vetor gradiente ⍢𝑓 é contínuo em C. Então

∫c ⍢𝑓་dx = 𝑓(r(b))-𝑓(r(a))

O teorema 2 diz que a integral de linha de ⍢𝑓 é a variação total de 𝑓. Se 𝑓 é uma função de duas variáveis e C, uma curva plana com início em A(x1,y1) e término em B(x2,y2). O teorema 2 fica

∫c ⍢𝑓་dx = 𝑓(x2,y2) - 𝑓(x1,y1)

Provando-se assim o teorema 2.

Independência de Caminho

Supoem-se que C1 e C2 sejam curvas lisas por trecho (chamadas caminhos) que tem o mesmo ponto inicial A e o mesmo ponto terminal B. Sabe-se que em geral  ∫c1 F་dr ≠ ∫c2 F་dr, mas uma decorrência do teorema 2 é que

∫c1 ⍢𝑓་dr = ∫c2 ⍢𝑓་dr

sempre que ⍢𝑓 for Continuo. Em outras palavras, a integral de linha de um campo vetorial conservativo depende somente dos pontos extremos da curva.

Em geral, se F for um campo vetorial contínuo com domínio D, diz-se que a integral de linha ∫c1 F་dr é independente do caminho se ∫c1 F་dr = ∫c2 F་dr para quaisquer dos caminhos C1 e C2 em D que tenham os mesmos pontos iniciais e finais. Com essa terminologia, pode-se dizer que as integrais de linha de campos vetoriais conservativos são independentes do caminho.

Uma curva é dita fechada se seu ponto terminal coincide com seu ponto inicial, ou seja, r(b) = r(a). Se ∫c F་dr é independente do caminho em D e C é uma curva fechada em D, podemos escolher quaisquer dois pontos A e B sobre C e olhar C como composta por um caminho C1 de A a B seguido de um caminho C2 de B a A. Então

∫c F་dr = ∫c1 F་dr + ∫-c2 F་dr = ∫c1 F་dr - ∫c2 F་dr = 0

já que C1 e —C2 tem os mesmos pontos iniciais e finais.

Por outro lado, se é verdade que ∫c F་dr = 0 sempre que C for um caminho fechado em D, podemos demonstrar a independência do caminho, como segue. Toma-se quaisquer dos caminhos C1 e C2 de A a B em D e defina C como a curva constituída por C1 seguida por —C2. Então

0 = ∫c F་dx = ∫c1 F་dx + ∫-c2 F་dx = ∫c1 F་dx - ∫c2 F་dx

e ∫-c2 F་dr = ∫c1 F་dr. Assim, provamos o seguinte teorema.

(3) Teorema. ∫c F་dr é independente do caminho em D se e somente se  ∫c F་dr = 0 para todo caminho fechado C em D.

Como sabe-se que a integral de linha de qualquer campo vetorial conservativo F é independente do caminho, segue-se que ∫c F་dr =0 para qualquer caminho fechado.

O teorema a seguir fala que somente campos vetoriais independentes do caminho são conservativos. Ele está estabelecido e provado para curvas planas, mas existe uma versão espacial desse teorema. Admitiremos que D seja aberto, o que significa que para todo ponto P em D existe uma bola aberta com centro em P inteiramente contida em D. (Portanto D não tem nenhum ponto de sua fronteira.) Além disso, admitiremos que D seja conexo. Isso significa que quaisquer dois pontos de D podem ser ligados por um caminho inteiramente contido em D.

(4) Teorema. Suponha que F seja um campo vetorial contínuo sobre uma região aberta conexa D. Se ∫c F་dr for independente do caminho em D, então F é um campo vetorial conservativo, ou seja, existe uma função 𝑓 tal que ⍢𝑓 = F.

Exemplos

Exemplo 1: (a)Se F(x,y)= 3+2xy)i + (x² - 3y²)j, determine uma função f tal que F = f. [pic 2]

Solução:

Sabemos que F é conservativo, e assim existe uma função f com F = f ou seja,[pic 3]

                                           fx (x,y) = 3+ 2xy (1)

                                           fy (x,y) = x² - 3y²  (2)