Teoria Fundamental do Cálculo
Por: Marellana • 3/9/2017 • Trabalho acadêmico • 1.853 Palavras (8 Páginas) • 232 Visualizações
UNI-FACEF CENTRO UNIVERSITÁRIO DE FRANCA
MÁRCIO BENEVIDES LESSA
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
FRANCA
2016
MÁRCIO BENEVIDES LESSA
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
Trabalho apresentado à disciplina Cálculo II para avaliação do 2º bimestre, do 2º Semestre, do curso de Engenharia Civil Diurno.
Orientador: Prof.ª. Flávia França.
FRANCA
2016
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Gráfico da função área. 8
Figura 2 – Gráfico da determinação de h. 9
Figura 3 – Gráfico da Rt e Ct entre 0 a 14. 11
Figura 4 – Gráfico da área da Rt de 0 a 14 e . 13[pic 1]
Figura 5 – Gráfico da área da Ct de 0 a 14 e . 14[pic 2]
Figura 6 – Gráfico da área de lucro 15
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Valores de Rt e Ct entre 0 a 14 10
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO 6
1. DEFINIÇÃO DO TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO 6
2. TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO – PRIMEIRA VERSÃO 7
3. TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO – SEGUNDA VERSÃO 9
4. EXEMPLO DE APLICAÇÃO 10
CONSIDERAÇÕES 15
REFERENCIAL BIBLIOGRÁFICO 16
INTRODUÇÃO
A aplicação do cálculo nas Ciências em geral e nas Engenharias permitiu a evolução dos estudos e a concretização de ideias. Obras, objetos ou bens, que não eram possíveis de serem realizados no passado, puderam a ser desenvolvidos e ter aplicações práticas, devido ao uso da integração e diferenciação.
Logo, o Teorema Fundamental do Cálculo permite compreender como, a partir de uma dada função, promover a integração e, através da diferenciação, voltar ao estágio inicial.
Busca-se neste trabalho, então, compreender o funcionamento que dá sustentação ao Teorema Fundamental do Cálculo, bem como apresentar uma aplicação, ainda que de forma teórica.
- DEFINIÇÃO DO TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
Tendo como referencial bibliográfico, para a composição deste trabalho o conteúdo descrito no sítio do IME-USP-SP (2016) sobre o tema, bem como o artigo disponível no sítio da Enciclopédia Livre Wikipédia (2016), além da demonstração contida no sítio IME-UNICAMP (2016), entre outros, buscou-se compreender o conceito do Teorema Fundamental do Cálculo, a partir do seu desenvolvimento.
Stewart (2003) apud in Wikipédia, salienta que a ideia que levou ao Teorema Fundamental do Cálculo foi do matemático inglês Isaac Barrow, embora a primeira prova conhecida do Teorema foi dada ao matemático escocês James Gregory.
Segundo o autor, Barrow, que na época, século XVII, era professor de do notável Isaac Newton, na Universidade de Cambridge, descobriu que os dois problema, diferenciação e integração, estão intimamente relacionados, percebendo que os processos de diferenciação e integração são processos inversos. Entretanto, foram Newton e Leibniz, independentemente, que exploraram essa conexão e desenvolveram o Cálculo.
Eles perceberam que o Teorema Fundamental permitia encontrar a área de uma figura plana de uma forma muito fácil, sem a necessidade de se calcular a soma de áreas de um número indefinidamente grande de retângulos, mas sim usando a primitiva de uma função.
Assim, pode-se compreender o Teorema Fundamental do Cálculo como sendo a base das duas operações centrais do cálculo: a diferenciação e a integração. De acordo com as fontes consultadas, equivale a dizer que se uma função contínua é primeiramente integrada e depois diferenciada (ou vice-versa), volta-se na função original. Este teorema é de suma importância no cálculo, por isto recebe o nome Teorema Fundamental do Cálculo.
Observa-se que este Teorema estabelece uma importante conexão entre o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. O primeiro surgiu a partir do problema de se determinar a reta tangente a uma curva em um ponto, enquanto o segundo surgiu a partir do problema de se encontrar a área de uma figura plana. Aparentemente, entre os dois problemas parece não existir nenhuma relação.
O Teorema Fundamental do Cálculo pode ser explicado por duas versões, apresentados na sequência.
- TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO – PRIMEIRA VERSÃO
De acordo com o sítio DM-UFSCAR (2016), a primeira versão do Teorema Fundamental do Cálculo tem por ponto de partida uma função ⨍ contínua no intervalo [a; b]. A função ⨍ definida por:
[pic 3]
Ela é contínua em [a, b] e diferenciável em (a, b) e F’ (x) = f (x), isto é, F é a antiderivada de f.
[pic 4]
Exemplificando o exposto, segundo o sítio WP-UFPEL (2016):
Dada uma função f contínua em [a; b] e definida uma nova função F por:
...