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Centro de Massa

de Henrique-Boss |

Rota��es, Oscila��es e Ondas

Prof. Nei

Centro de massa: Podemos dizer que o centro de massa ou centro de gravidade � o ponto de aplica��o do peso do

corpo (Peso = massa x acelera��o da gravidade).

Sistema de particulas: � como definimos a posi��o do centro de massa (CM), para isso utilizamos a media

ponderada.

m = massa

xCM ou yCM = posi��o

1) Uma part�cula de 2 kg tem as coordenadas xy iguais a (-1,2 m; 0,5 m) e uma part�cula de 4 kg tem as coordenadas xy

(0,6 m; -0,75 m). Ambas est�o em um plano horizontal. Em que coordenada (a) x e (b) y voc� deve posicionar uma

terceira part�culas de 3 kg para que o centro de massa do sistema de tr�s part�culas tenha coordenadas (-0,5 m; -0,7

m)?

m3 = 3Kg

x=?

y= ?

m1= 2 Kg

x=-1,2 y=0,5

m2= 4Kg

x= 0,6 y= -0,75

xCM=-0,5 yCM=-0,7

xCM= (m1x1 + m2.x2 + m3.x3)/ (m1+m2+m3)

-0.5 = 2.-1,2 + 4.0,6 + 3.x3/9 => -4,5 = -2,4 + 2.4 + 3x3 => -4,5/3 = x3 => x3 = -1,5m

yCM= (m1y1 + m2.y2 + m3.y3)/ (m1+m2+m3)

-0.7 = 2.0,5 + 4.-0,75 + 3.y3/9 => -6.3= 1-3+3y3 => -4.3/3 = y3 => y3= -1.43m

2) A figura abaixo mostra um sistema de tr�s part�culas, com massas m1 = 3 kg, m2 = 4 kg e m3 = 8kg. Quais s�o (a) a

coordenada x e (b) a coordenada y do centro de massado sistema? (c) Se m3 crescer gradualmente, o centro de

massa de aproxima de m3, se afasta de m3 ou permanece onde est�?

m1= 3 Kg x=0 y=0

m2= 4Kg x= 2 y= 1

m3 = 8Kg x=1 y= 2

a) xCM= (m1x1 + m2.x2 + m3.x3)/ (m1+m2+m3)

xCM = 3.0 + 4.2 + 8.1/15 => xCM = 1,06m

b) yCM= (m1y1 + m2.y2 + m3.y3)/ (m1+m2+m3)

yCM= 3.0 + 4.1 + 8.2/15 => yCM= 1,3m

c) xCM = 1,06m

yCM= 3.0 + 4.1 + 8.3/15 =>

yCM= 1,86

O CM vai se aproximar de m3.

3) Na figura abaixo, tr�s barras finas e uniformes, cada uma de comprimento L = 22 cm, formam um U invertido. Cada

barra vertical tem uma massa de 14 g; a barra horizontal tem uma massa de 42 g. Quais s�o (a) a coordenada x e (b) a

coordenada y do centro de massa do sistema?

eixo de simetria

xCM= (m1x1 + m2.x2 + m3.x3)/ (m1+m2+m3)

xCM = 0.14 + 11.42 + 22.14 /70 => xCM = 11cm

yCM= (m1y1 + m2.y2 + m3.y3)/ (m1+m2+m3)

yCM= -11.14 + 0.42 -11.14/70 => yCM= -4,4cm

Corpos maci�os: um objeto comum contem um numero t�o grande de part�culas (�tomos) que � mais simples

considera-lo como uma distribui��o continua da mat�ria. Por serem infinitas part�culas utilizamos integrais e as

coordenadas do centro de massa passam a ser dadas por:

xcm∫ x dm/M = 1/M ∫ x dmycm∫ y dm/M = 1/M ∫ y dm

zcm∫ z dm/M = 1/M ∫ z dm

onde M � a massa totoal do objeto.

┌cm= 1/M [∫ x dm +∫ y dm +∫ z dm]

Na pratica, existe uma forma mais simples de calcula-las. Se o objeto tem uma densidade podemos escrever:

p = dm/dV = M/V

onde dV � o volume ocupado por um elemento de massa e V � o volume total do objeto substituindo dm, temos:

Momento linear: O momento linear de uma part�cula � um vetor p definido, atrav�s da equa��o:

onde m= massa e v=velocidade

que significa:

varia��o do momento = for�a

varia��o do tempo

Conclu�mos que o momento s� pode variar na presen�a de for�a.

Pi = Pf

=> quantidade de momento inicial = quantidade de momento final

M. vi = M. vf p/ um objeto

M1. v 1i + M2. v 2i = M1. v 1f + M2. v 2f p/ 2 objetos

Uma colis�o � um evento isolado em que uma for�a relativamente imensa age em casa um de dois ou mais corpos que

interagem por um tempo relativamente curto.

H� dois tipos de colis�o: El�stica: bate e volta, com a mesma, mant�m, a velocidade, n�o existe perda de energia.

Pi = Pf (momento)

Eci = Ecf(energia cin�tica)

E Inel�stica: h� perda de energia

Impulso

Sendo que: I (impulso) = F (for�a) . t (tempo)

5) Uma pessoa(pesando 915 N) est� me p� sobre um longo vag�o (pesando 2415 N) quando este se desloca a 18,2

m/s no sentido positivo de um eixo x, com atrito desprez�vel. A pessoa, ent�o corre sobre o vag�o no sentido negativo

do eixo x a 4 m/s em rela��o ao vag�o. Qual � o aumento na velocidade do vag�o?

Pi = Pf

m1.v1i + m2.v2i = m1.v1f + m2.v2f

(241,5.18,20)+(91,5.18,2) = (241,5.v1f)+ (91,5.14,2)

� 

4395,3 + 1665,3 = 1299,3 + 241,5v1f

v1f = 19,71

Δv = 19,71 - 18,2 = 1,51m/s

6) Uma bola de 0,55 kg cai diretamente sobre um piso de concreto, atingindo-o com uma velocidade de 12 m/s e sendo

rebatida diretamente para cima com uma velocidade de 3 m/s. Quais s�o (a) a varia��o do momento linear da bola e (b)

o impulso sobre a bola?

a) ΔP (varia��o do momento)= Pf - Pi = m .vf - m .vi = 0,55. 3 - 0,55.-12 = 1,65 + 6,6 = 8,5 kg.m/s

b) I = F . Δt �  I = ΔP/Δt . Δt = ΔP = 8,25N.s

7) Uma bola de 1,2 kg cai verticalmente sobre um piso, atingindo-o com uma velocidade de 25 m/s. Ela � rebatida com

uma velocidade inicial de 10 m/s. (a) Que impulso atua sobre a bola neste contato? (b) Se a bola fica em contato com o

piso por 0,02 s, qual � a intensidade da for�a m�dia da bola sobre o piso?

a) I = F . Δt �  I = ΔP/Δt. Δt = ΔP = Pf - Pi = m .(vf - vi ) = 1,2.35 = 42 kg.m/s �  ΔI = 42N.s

b) t = 0,02s F=?

ΔI = F . Δt = 42N.s/0,02s= 2100N

8) Em fevereiro de 1955, um para-quedista caiu de 370 m a partir de um avi�o sem conseguir abrir seu para-quedas,

mas aterrissou em um terreno coberto por neve, sofrendo apenas pequenas escoria��es. Suponha que a velocidade

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