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A derivada e aplicações

Por:   •  12/8/2015  •  Trabalho acadêmico  •  10.289 Palavras (42 Páginas)  •  172 Visualizações

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A DERIVADA E APLICAÇÕES

  1. A Derivada de Uma Função y = f(x)

                   Definimos a derivada de uma função f(x) como segue.

Definição (Derivada de uma função y = f(x)): A derivada de uma função y = f(x) é a função f ’(x) (vamos ler f linha de x), tal que o seu valor em qualquer ponto do domínio de f, i.e., para qualquer ponto x[pic 1]D[pic 2] é dado pelo limite:

[pic 3]

Além disso, vamos falar que uma função é derivável quando existe a derivada em todos os pontos de seu domínio. Abaixo, listamos algumas outras notações que são utilizadas para a representação da derivada de uma função y = f(x).

  1. D[pic 4]f(x) (vamos ler: derivada de f(x) em relação a x).

  1. D[pic 5]y (vamos ler: derivada de y com relação a x).
  1. [pic 6] (vamos ler: derivada de y com relação a x)
  1. [pic 7] (vamos ler: derivada de y com relação a x no ponto x = x[pic 8])

                  Vamos apresentar alguns exemplos ilustrativos, em que determinamos a derivada de uma função f(x) através da definição formal de derivada.

[pic 9]  Vamos encontrar a derivada da função f(x) = x[pic 10] no ponto x[pic 11] = 3?

Solução: Neste caso, temos que:

f '(3) = [pic 12] = [pic 13]= [pic 14] =

                [pic 15] = 6

[pic 16]

[pic 17]  Qual a derivada de f(x) = x[pic 18] no ponto x[pic 19] = – 2?

Solução: Neste caso, temos que:

f '( – 2) = [pic 20] = [pic 21] 

= [pic 22] =  [pic 23] = – 4

[pic 24]

        

        

        

[pic 25]  Consideremos a função f(x) = | x | (valor absoluto de x ou módulo de x). A função f(x) apresenta derivada no ponto x[pic 26] = 0?

Solução: Neste caso, temos que:

f '(0) = [pic 27] = [pic 28] = [pic 29]

Desta forma, percebemos que:

- Se [pic 30]x tende a 0 pela direita, então [pic 31]x > 0 e |[pic 32]x| = [pic 33]x  e, conseqüentemente o limite de f ’(0) = [pic 34] é igual a 1, ou seja, [pic 35] = 1.

- Se [pic 36]x tende a 0 pela esquerda, então temos que [pic 37]x < 0 e |[pic 38]x| = -[pic 39]x  e, desta maneira o limite de f ’(0) = [pic 40] é igual a -1, ou seja, [pic 41] = -1.

[pic 42]

        

        

[pic 43] Considerando a função f(x) = 5.x[pic 44] + 6x – 1, vamos encontrar f ’(2).

Solução: Neste caso, temos que:

f '(2) = [pic 45] = [pic 46] = [pic 47] 

f '(2) = [pic 48]

f '(2) = 26

[pic 49] Considerando a função f(x) = [pic 50], vamos encontrar f ’(x).

Solução: Neste caso, temos que:

f '(x) = [pic 51] = [pic 52] 

f '(x) = [pic 53]

f '(x) = [pic 54]

[pic 55] Vamos encontrar a equação da reta tangente à curva y = [pic 56], que seja paralela à reta 8x – 4y + 1 = 0.

Solução: Para resolvermos este exemplo, primeiramente vamos lembrar da Geometria Analítica Elementar que duas retas são paralelas quando os seus coeficientes angulares são iguais.

...

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